Question

Równanie z parametrem. Dowiedzieć się, przy jakiej wartości parametru równanie nie ma pierwiastków. (P.S: D<0)

x^2-(a-1)x+3a-5=0

Answer 1

[tex]\large\text{$x^2-(a-1)x+3a-5=0$}[/tex]   to równanie kwadratowe.

Równanie kwadratowe nie ma pierwiastków jeśli jego wyróżnik jest ujemny (Δ < 0).

Obliczamy wyróżnik trójmianu:

[tex]\Delta=\big[-(a-1)\big]^2-4\cdot1\cdot(3a-5)\\\\\Delta=a^2-2a+1-12a+20\\\\\Delta=a^2-14a+21[/tex]

Wyznaczamy a, dla którego wyróżnik jest ujemny:

[tex]\Delta < 0\\\\a^2-14a+21 < 0\\\\\Delta_a=(-14)^2-4\cdot1\cdot21=196-84=112\quad\implies\ \sqrt\Delta_a=4\sqrt7\\\\ a_1=\frac{-(-14)-4\sqrt7}{2\ctoq}=\frac{14-4\sqrt7}2=7-2\sqrt7\ ,\quad a_2=\frac{14+4\sqrt7}2=7+2\sqrt7[/tex]

Współczynnik przy a² jest >0, czyli ramiona paraboli w górę i trójmian <0, czyli rozwiązaniem jest część wykresu pod osią X i miejsca zerowe nie należą do rozwiązania.

Zatem, równanie nie ma pierwiastków dla:

           [tex]\large\text{$a\in\left(\,7-2\sqrt7\,,\,\ 7+2\sqrt7\,\right)$}[/tex]