Question

Równanie (10x2 − 13x + 4)(18x2 − 27x + 10) = 0 ma cztery różne rozwiązania, z których trzy stanowią długości boków pewnego trójkąta prostokątnego. Pole trójkąta ?

Answer 1

Odpowiedź:

[tex]P=\frac{1}{6}[/tex]

Szczegółowe wyjaśnienie:

[tex](10x^2-13x + 4)(18x^2-27x + 10) = 0\\\\10x^2-13x + 4=0\qquad\vee\qquad18x^2-27x + 10=0[/tex]

Dla pierwszego równania:

[tex]\Delta=(-13)^2-4*10*4=169-160=9\\\\\sqrt\Delta=3\\\\x_1=\frac{13-3}{2*10}=\frac{10}{20}=\frac{1}{2}\\\\x_2=\frac{13+3}{2*10}=\frac{16}{20}=\frac{4}{5}[/tex]

Dla drugiego równania:

[tex]\Delta=(-27)^2-4*18*10=729-720=9\\\\\sqrt\Delta=3\\\\x_1=\frac{27-3}{2*18}=\frac{24}{36}=\frac{2}{3}\\\\x_2=\frac{27+3}{2*18}=\frac{30}{36}=\frac{5}{6}[/tex]

Ostatecznie wyjściowe równanie ma rozwiązania:

[tex]x\in\left\{\frac{1}{2},\frac{2}{3},\frac{4}{5},\frac{5}{6}\right\}[/tex]

Długościami boków trójkąta prostokątnego są [tex]\frac{1}{2},\frac{2}{3},\frac{5}{6}[/tex], ponieważ zachodzi tw. Pitagorasa:

[tex]\left(\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{2}{3}\right)^2=\left(\frac{5}{6}\right)^2\\\\\frac{1}{4}+\frac{4}{9}=\frac{25}{36}\\\\\frac{9}{36}+\frac{16}{36}=\frac{25}{36}\\\\\frac{25}{36}=\frac{25}{36}[/tex]

Pole policzymy ze wzoru z długościami przyprostokątnych:

[tex]P=\frac{1}{2}ab\\\\P=\frac{1}{2}*\frac{1}{2}*\frac{2}{3}=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}[/tex]