obie strony równania możemy pomnożyć/podzielić przez tą samą liczbę różną od 0 otrzymując równanie równoważne;
do obu stron (od obu stron) równania możemy dodać (odjąć) to samo wyrażenie otrzymując równanie równoważne;
Równania równoważne są to równania określone w tej samej dziedzinie i posiadające ten sam zbiór rozwiązań.
Przechodzimy do rozwiązania:
a)
[tex]5-9x+6=2x+14-x[/tex]
na początku zredukujmy wyrazy podobne po obu stronach równania
[tex](5+6)-9x=(2x-x)+14\\\\11-9x=x+14[/tex]
mamy wyliczyć x. Po lewej stronie 'przeszkadza' nam 11. Odejmujemy ją obustronnie
[tex]11-9x=x+14\qquad|-11\\\\-9x=x+3[/tex]
po prawej stronie mamy x. Odejmujemy obustronnie x
[tex]-10x=3[/tex]
mamy obliczyć x. 'Przeszkadza' nam jeszcze liczba (-10). Jako, że między liczbą (-10) i niewiadomą x jest mnożenie, to dzielimy obustronnie przez (-10)
Dodawanie/odejmowanie obustronne liczb/wyrażeń można zastąpić 'przenoszeniem' liczb/wyrażeń z jednej strony równania na drugą zmieniając znak wyrażenia/liczby na przeciwny.
Verified answer
[tex]\huge\begin{array}{ccc}a)\ x=-\dfrac{3}{10}\to x=-0,3\\b)\ x=\dfrac{9}{2}\to x=4\dfrac{1}{2}\ \ \ \ \ \ \ \ \\c)\ x=\dfrac{1}{7}\qquad\qquad\qquad\ \ \ \ \\d)\ x=\dfrac{9}{2}\to x=4\dfrac{1}{2}\qquad\ \end{array}[/tex]
Równania liniowe z jedną niewiadomą.
Do rozwiązania mamy równania:
[tex]a)\ 5-9x+6=2x+14-x\\\\b)\ 5+\dfrac{x+3}{3}=\dfrac{5x}{3}\\\\c)\ 3x(x-5)=(3x+2)(x-1)\\\\d)\ \dfrac{4x-1}{2}=\dfrac{5x+3}{3}[/tex]
Wiemy, że:
Równania równoważne są to równania określone w tej samej dziedzinie i posiadające ten sam zbiór rozwiązań.
Przechodzimy do rozwiązania:
a)
[tex]5-9x+6=2x+14-x[/tex]
na początku zredukujmy wyrazy podobne po obu stronach równania
[tex](5+6)-9x=(2x-x)+14\\\\11-9x=x+14[/tex]
mamy wyliczyć x. Po lewej stronie 'przeszkadza' nam 11. Odejmujemy ją obustronnie
[tex]11-9x=x+14\qquad|-11\\\\-9x=x+3[/tex]
po prawej stronie mamy x. Odejmujemy obustronnie x
[tex]-10x=3[/tex]
mamy obliczyć x. 'Przeszkadza' nam jeszcze liczba (-10). Jako, że między liczbą (-10) i niewiadomą x jest mnożenie, to dzielimy obustronnie przez (-10)
[tex]-10x=3\qquad|:(-10)\\\\\boxed{x=-\dfrac{3}{10}\to x=0,3}[/tex]
b)
[tex]5+\dfrac{x+3}{3}=\dfrac{5x}{3}[/tex]
na początku 'pozbywamy' się mianownika mnożąc obustronnie przez 3 (po to by nam się mianownik skrócił z liczbą 3
[tex]5+\dfrac{x+3}{3}=\dfrac{5x}{3}\qquad|\cdot3\\\\3\cdot5+3\!\!\!\!\diagup\cdot\dfrac{x+3}{3\!\!\!\!\diagup}=3\!\!\!\!\diagup\cdot\dfrac{5x}{3\!\!\!\!\diagup}\\\\15+x+3=5x[/tex]
redukujemy wyrazy podobne z lewej strony równania
[tex]x+(15+3)=5x\\\\x+18=5x[/tex]
odejmujemy liczbę 18 oraz 5x od obu stron równania
[tex]x+18=5x\qquad|-18-5x\\\\-4x=-18[/tex]
mamy obliczyć x. 'Przeszkadza' nam jeszcze liczba (-4). Jako, że między liczbą (-4) i niewiadomą x jest mnożenie, to dzielimy obustronnie przez (-4)
[tex]-4x=-18\qquad|:(-4)\\\\x=\dfrac{18}{4}[/tex]
skracamy ułamek i wyłączamy całości
[tex]x=\dfrac{18\!\!\!\!\!\diagup^9}{4\!\!\!\!\diagup_2}\\\\\boxed{x=\dfrac{9}{2}\to x=4\dfrac{1}{2}}[/tex]
c)
[tex]3x(x-5)=(3x+2)(x-1)[/tex]
skorzystamy z rozdzielności mnożenia względem dodawania/odejmowania:
[tex]a(b\pm c)=ab\pm ac\\\\(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd[/tex]
[tex]3x\cdot x-3x\cdot5=3x\cdot x-3x\cdot1+2\cdot x-2\cdot1\\\\3x^2-15x=3x^2-3x+2x-2[/tex]
redukujemy wyrazy podobne po prawej stronie równania
[tex]3x^2-15x=3x^2+(-3x+2x)-2\\\\3x^2-15x=3x^2-x-2[/tex]
odejmujemy obustronnie 3x² redukując to wyrażenie do zera
[tex]3x^2-15x=3x^2-x-2\qquad|-3x^2\\\\-15x=-x-2[/tex]
dodajemy x do obu stron równania
[tex]-15x=-x-2\qquad|+x\\\\-14x=-2[/tex]
dzielimy obustronnie przez (-14)
[tex]-14x=-2\qquad|:(-14)\\\\x=\dfrac{2}{14}[/tex]
skracamy ułamek
[tex]x=\dfrac{2\!\!\!\!\diagup^1}{14\!\!\!\!\1\diagup_7}\\\\\boxed{x=\dfrac{1}{7}}[/tex]
d)
[tex]\dfrac{4x-1}{2}=\dfrac{5x+3}{3}[/tex]
mamy równanie w postaci proporcji. Rozwiązujemy je mnożąc na krzyż
[tex]3(4x-1)=2(5x+3)[/tex]
korzystamy z rozdzielności mnożenia względem dodawania/odejmowania
[tex]3\cdot4x-3\cdot1=2\cdot5x+2\cdot3\\\\12x-3=10x+6[/tex]
'pozbywamy' się liczb bez x z lewej strony i wyrażeń z x z prawej (dodając/odejmując obustronnie)
[tex]12x-3=10x+6\qquad|+3-10x\\\\2x=9[/tex]
dzielimy obustronnie przez 2
[tex]2x=9\qquad|:2\\\\\boxed{x=\dfrac{9}{2}\to x=4\dfrac{1}{2}}[/tex]
UWAGA:
Dodawanie/odejmowanie obustronne liczb/wyrażeń można zastąpić 'przenoszeniem' liczb/wyrażeń z jednej strony równania na drugą zmieniając znak wyrażenia/liczby na przeciwny.
a)
[tex]11-9x=x+14\\\\-9x-x=14-11\\\\-10x=4\qquad|:(-10)\\\\\boxed{x=-0,4}[/tex]
b)
[tex]18+x=5x\\\\x-5x=-18\\\\-4x=-18\qquad|:(-4)\\\\\boxed{x=4\dfrac{1}{2}}[/tex]
c)
[tex]3x^2-15x=3x^2-x-2\\\\3x^2-3x^2-15x+x=-2\\\\-14x=-2\qquad|:(-14)\\\\\boxed{x=\dfrac{1}{7}}[/tex]
d)
[tex]12x-3=10x+6\\\\12x-10x=6+3\\\\2x=9\qquad|:2\\\\\boxed{x=4\dfrac{1}{2}}[/tex]