Roczna produkcja firmy wytwarzającej rowery wynosi x sztuk. Ustalono stałą cenę sprzedaży jednego roweru w wysokości 1500 zł, a roczny koszt K produkcji x rowerów można przedstawić zwrotem K(x)=2x^2+400x+5450. Firma sprzedaje wszystkie rowery które wyprodukuje. Oblicz ile rowerów należy wyprodukować by zysk (różnica między przychodem a kosztami produkcji) firmy w jednym roku był największy. Podaj wartość największego zysku. Wyznacz przedział opłacalności rocznej produkcji rowerów, tzn kiedy firma przynosi zysk.
Aby obliczyć, ile rowerów należy wyprodukować, aby firma osiągnęła największy zysk, musimy znaleźć pochodną funkcji zysku i rozwiązać równanie, aby znaleźć wartość krytyczną. Później, możemy znaleźć największy zysk i określić przedział opłacalności.
Pierwszy krok to znalezienie funkcji zysku. Zysk jest różnicą między przychodem a kosztami produkcji:
Z(x) = R(x) - K(x)
Gdzie:
Przychód można obliczyć, mnożąc ilość rowerów przez cenę jednego roweru:
R(x) = 1500x
Koszty produkcji K(x) zostały podane jako K(x) = 2x^2 + 400x + 5450.
Teraz możemy utworzyć funkcję zysku:
Z(x) = 1500x - (2x^2 + 400x + 5450)
Z(x) = 1500x - 2x^2 - 400x - 5450
Z(x) = -2x^2 + 1100x - 5450
Teraz obliczmy pochodną funkcji zysku:
Z'(x) = -4x + 1100
Teraz możemy równać pochodną do zera, aby znaleźć wartość maksymalną:
-4x + 1100 = 0
-4x = -1100
x = 275
Teraz mamy wartość x, dla której pochodna funkcji zysku wynosi zero. Teraz możemy obliczyć zysk w tym punkcie:
Z(275) = -2(275)^2 + 1100(275) - 5450
Z(275) = -2(75625) + 302500 - 5450
Z(275) = -151250 + 302500 - 5450
Z(275) = 145800 zł
Największy zysk wynosi 145800 zł, a firma osiągnie go, gdy produkuje 275 rowerów. Teraz obliczmy przedział opłacalności, czyli kiedy firma przynosi zysk. Zysk jest dodatni, gdy Z(x) > 0;
-2x^2 + 1100x - 5450 > 0
Teraz rozwiążemy to nierówność. Możemy najpierw podzielić przez -2 i zmienić znak nierówności:
x^2 - 550x + 2725 < 0
Następnie możemy znaleźć miejsca zerowe tej nierówności, obliczając pierwiastki równania kwadratowego x^2 - 550x + 2725 = 0;
Nasz pierwiastek z delty wychodzi ze wzoru b^2 - 4ac == > 540
x1 = (550 + 540) / 2 = 545
x2 = (550 - 540) / 2 = 5
Otrzymaliśmy wartości x1 = 545 i x2 = 5. Oznacza to, że przedział opłacalności produkcji rowerów wynosi 5 < x < 545. Firma przynosi zysk, jeśli produkuje od 6 do 544 rowery rocznie. Osiągnie maksymalny zysk w punkcie x = 275 rowerów, który wynosi 145800 zł.