Se conoce como E.D. Lineal Homogénea (EDLH) de Orden n con coeficientes constantes.
La solución general de la EDLH se consigue hallando las raíces de la llamada ecuación auxiliar o polinomio característico y sustituyendo en las expresiones exponenciales correspondientes.
Veamos el caso estudio:
y'’ + 36y = 0
La ecuación característica es: m² + 36 = 0
Una ecuación de segundo grado con raices complejas conjugadas
La solución particular del problema de valores iniciales dado es:
[tex]\bold{~~y_{c} ~=~6Sen6x~~-~~2Cos6x }[/tex]
Explicación:
Una ecuación diferencial (ed) de la forma:
[tex]\bold{a_{n}y^{(n)}~+~ a_{n-1}y^{(n-1)}~+~ a_{n-2}y^{(n-2)}~+~...~+~ a_{1}y'~+~ a_{0}y~=~0}[/tex]
Se conoce como E.D. Lineal Homogénea (EDLH) de Orden n con coeficientes constantes.
La solución general de la EDLH se consigue hallando las raíces de la llamada ecuación auxiliar o polinomio característico y sustituyendo en las expresiones exponenciales correspondientes.
Veamos el caso estudio:
y'’ + 36y = 0
La ecuación característica es: m² + 36 = 0
Una ecuación de segundo grado con raices complejas conjugadas
(α + βi) ∧ (α - βi);
entonces la solución general viene dada por:
[tex]\bold{y_{c} ~=~(C_{1}~Cos\beta x~~+~~C_{2}~Sen\beta x)~e^{\alpha x}}[/tex]
La solución de nuestro problema es:
Ecuación Característica es: m² + 36 = 0
[tex]\bold{m^2~+~36~=~0\quad\Rightarrow\quad m^2~=~-36\quad\Rightarrow\quad m~=~\pm 6i~\quad\Rightarrow\quad \alpha=0\quad \beta=6}[/tex]
[tex]\bold{Soluci\acute{o}n~General:~~y_{c} ~=~[C_{1}~Cos((6)x)~+~C_{2}~Sen((6)x)]~e^{(0)x}\qquad\Rightarrow}[/tex]
[tex]\bold{Soluci\acute{o}n~General:~~y_{c} ~=~C_{1}~Cos6x~+~C_{2}~Sen6x}[/tex]
Solución particular para
[tex]\bold{x ~=~\dfrac{\pi}{6}~~\qquad~~y~=~1}[/tex]
Sustituimos en la solución general
[tex]\bold{1~=~ C_{1}~Cos(6(\dfrac{\pi}{6}))~~+~~C_{2}~Sen(6(\dfrac{\pi}{6})) \qquad\Rightarrow\qquad C_{1}~=~-1}[/tex]
[tex]\bold{ y_{c} ~=~ -Cos6x~~+~~C_{2}~Sen6x}[/tex]
Calculamos la derivada de primer orden
[tex]\bold{ y'~=~ 6Sen6x~~+~~6C_{2}~Cos6x}[/tex]
Sustituimos los valores iniciales
[tex]\bold{x ~=~\dfrac{\pi}{6}~~\qquad~~y'~=~2}[/tex]
[tex]\bold{ 2~=~ 6Sen(6(\dfrac{\pi}{6}))~~+~~6C_{2}~Cos(6(\dfrac{\pi}{6}))\qquad\Rightarrow\qquad C_{2}~=~-\dfrac{1}{3}}[/tex]
[tex]\bold{Soluci\acute{o}n~Particular:~~y_{c} ~=~6Sen6x~~-~~2Cos6x }[/tex]