Question

Resolver por el método Gauss-Jordan:
4x-3y+3z=12
x+3y-6z=6
4x-y-4z=0

Answer 1

Respuesta:

Definición del método de Gauss

El método de Gauss consiste en transformar un sistema de ecuaciones en otro equivalente

de forma que este sea escalonado.

 

Para facilitar el cálculo vamos a transformar el sistema en una matriz, en la que pondremos

los coeficientes de las variables y los términos independientes (separados por una recta).

 

\left ( \begin{array}{ccc|c} a_{11} & \cdots & a_{1n} & c_1  \\  \vdots & \ddots  &  \vdots  & \vdots  \\ a_{m1} & \cdots & a_{mn} & c_m  \end{array} \right )

Explicación paso a paso:

Sistemas de ecuaciones equivalentes

 

Obtenemos sistemas equivalentes por eliminación de ecuaciones dependientes si se cumple que:

 

1 Todos los coeficientes son ceros.

 

2 Dos filas son iguales.

 

3Una fila es proporcional a otra.

 

4Una fila es combinación lineal de otras.

 

Criterios de equivalencia de sistemas de ecuaciones

 

1Si a ambos miembros de una ecuación de un sistema se les suma o se les resta una misma expresión, el sistema resultante es equivalente.

 

2 Si multiplicamos o dividimos ambos miembros de las ecuaciones de un sistema por un número distinto de cero, el sistema resultante es equivalente.

 

3Si sumamos o restamos a una ecuación de un sistema otra ecuación del mismo

sistema, el sistema resultante es equivalente al dado.

 

4 Si en un sistema se sustituye una ecuación por otra que resulte de sumar las dos

ecuaciones del sistema previamente multiplicadas o divididas por números no nulos,

resulta otro sistema equivalente al primero.

 

5 Si en un sistema se cambia el orden de las ecuaciones o el orden de las incógnitas, resulta otro sistema equivalente.

 

Ejemplo: \left \{ \begin{array}{lcr} x -9y + 5z - 33 & = & 0 \\ x + 3y - z & = & -9 \\ x - y + z & = & 5 \end{array} \right.  

 

Sumamos 33 en ambos lados de la primera ecuación y se obtiene

 

\left \{ \begin{array}{rcl} x -9y + 5z  - 33 + 33 & = & 0 + 33 \\ x + 3y - z & = & -9 \\ x - y + z & = & 5 \end{array} \right. \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \left \{ \begin{array}{lcr} x -9y + 5z & = & 33 \\ x + 3y - z & = & -9 \\ x - y + z & = & 5 \end{array} \right.

 

Por el primer criterio de equivalencia tenemos que el sistema original es equivalente con el sistema

 

\left \{ \begin{array}{lcr} x -9y + 5z & = & 33 \\ x + 3y - z & = & -9 \\ x - y + z & = & 5 \end{array} \right.

 

Ejemplo: \left \{ \begin{array}{lcr} x -9y + 5z & = & 33 \\ x + 3y - z & = & -9 \\ x - y + z & = & 5 \end{array} \right.  

 

Multiplicamos por 2 ambos lados de las ecuaciones y por el segundo criterio de equivalencia se tiene que el sistema original es equivalente con el nuevo sistema obtenido

 

\left \{ \begin{array}{lcr} 2x - 18y + 10z & = & 66 \\ 2x + 6y - 2z & = & -18 \\ 2x - 2y + 2z & = & 10 \end{array} \right.  

 

Ejemplo: \left \{ \begin{array}{lcr} x -9y + 5z & = & 33 \\ x + 3y - z & = & -9 \\ x - y + z & = & 5 \end{array} \right.  

 

A la tercera ecuación le sumamos la segunda ecuacíon, se obtiene un sistema de ecuaciones que por el criterio 3 es equivalente con el sistema original

 

\left \{ \begin{array}{lcr} x -9y + 5z & = & 33 \\ x + 3y - z & = & -9 \\ 2x + 2y & = & -4 \end{array} \right.  

 

Ejemplo: \left \{ \begin{array}{lcr} x -9y + 5z & = & 33 \\ x + 3y - z & = & -9 \\ x - y + z & = & 5 \end{array} \right.  

 

Sustituimos la segunda ecuación por la suma de la primera ecuación con la segunda ecuación multiplicada por tres. Se obtiene un sistema de ecuaciones que por el criterio 4 es equivalente con el sistema original

 

\left \{ \begin{array}{lcr} x -9y + 5z & = & 33 \\ 4x + 2z & = & 6 \\ x - y + z & = & 5 \end{array} \right.  

 

Ejemplo: \left \{ \begin{array}{lcr} x -9y + 5z & = & 33 \\ x + 3y - z & = & -9 \\ x - y + z & = & 5 \end{array} \right.  

 

Intercambiamos la segunda y tercera ecuación. Se obtiene un sistema de ecuaciones que por el criterio 5 es equivalente con el sistema original

 

\left \{ \begin{array}{lcr} x -9y + 5z & = & 33 \\ x - y + z & = & 5 \\ x + 3y - z & = & -9 \end{array} \right.