[QUIZ MATH]Diberikan sebuah matriksdimana .Jika diketahui hubungan matriks dengan matriks adalahTe.... Question from @MRizky099

November 2019 1 155 Report

[QUIZ MATH]
Diberikan sebuah matriks
$\displaystyle A=\begin{bmatrix} 1&0\\m&\frac{1}{n}\end{bmatrix}$
dimana $\displaystyle m,n \in \mathbb{R}$ .
Jika diketahui hubungan matriks $A$ dengan matriks $R$ adalah
$\displaystyle R = A\cdot A \cdot A \cdot \dots$
Tentukan matriks $R$ !
(nyatakan dalam notasi-notasi yang diketahui)

Aturan:
1. Jawaban harus pakai cara dengan menggunakan LATEX atau gambar saja
2. Jawaban harus dalam bentuk yang paling sederhana (disederhanakan jika masih bisa)
2. Tidak boleh jawab asal
3. Jawab asal langsung dihapus atau direport (dilaporkan)
~ Matrix × Geometry ~

WollyF

Jawab:

$\displaystyle \left[\begin{array}{ccc}1&0 \\\displaystyle \frac{mn}{n-1}&0\end{array}\right]$

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Kita tinjau dulu

$A \cdot A=A^2 = \displaystyle \left(\begin{array}{ccc}1&0 \\\displaystyle m&\displaystyle \frac{1}{n}\end{array}\right)\cdot \displaystyle \left(\begin{array}{ccc}1&0 \\\displaystyle m&\displaystyle \frac{1}{n}\end{array}\right)=\displaystyle \left(\begin{array}{ccc}1&0 \\\displaystyle m+\frac{m}{n}&\displaystyle \frac{1}{n^2}\end{array}\right)$

$\displaystyle A\cdot A\cdot A=A^3=A^2 \cdot A=\displaystyle \left(\begin{array}{ccc}1&0 \\\displaystyle m+\frac{m}{n}&\displaystyle \frac{1}{n^2}\end{array}\right)\cdot \displaystyle \left(\begin{array}{ccc}1&0 \\\displaystyle m&\displaystyle \frac{1}{n}\end{array}\right)\\=\displaystyle \left(\begin{array}{ccc}1&0 \\\displaystyle m+\frac{m}{n}+\frac{m}{n^2}&\displaystyle \frac{1}{n^3}\end{array}\right)$

Jika perkalian di atas diulangi terus menerus mendekati $\displaystyle \infty$ maka ada elemen pada matriks R akan membentuk barisan geometri tak hingga.

Perhatikan bahwa $\displaystyle m+\frac{m}{n}+\frac{m}{n^2}+...$ adalah barisan geometri tak hingga dengan a = m; r = $\displaystyle \frac{1}{n}$

$\displaystyle S_{\infty}=\frac{a}{1-r}\\S_{\infty}=\frac{m}{1-\displaystyle \frac{1}{n}}\\S_{\infty}=\frac{m}{\displaystyle \frac{n-1}{n}}\\\\\\S_{\infty}=\frac{mn}{n-1}$

$\displaystyle R=A\cdot A\cdot A\cdot A \cdot ...=\displaystyle \left(\begin{array}{ccc}1&0 \\\displaystyle m+\frac{m}{n}+\frac{m}{n^2}+...&\displaystyle \frac{1}{n^\infty}\end{array}\right)\\R=\displaystyle \left(\begin{array}{ccc}1&0 \\\displaystyle \frac{mn}{n-1}&\displaystyle 0\end{array}\right)$