Question

QUIS #9


Temukan solusi dari persamaan Pell x^2 - 2y^2 = 1 dalam bilangan bulat.​

Answer 1

Jawaban:

Persamaan Pell x^2 - 2y^2 = 1 adalah bentuk dari persamaan Pell. Persamaan Pell adalah persamaan di dalam teori bilangan yang memiliki bentuk umum x^2 - Dy^2 = 1, di mana D adalah bilangan bulat yang bukan kuadrat sempurna.

Untuk menemukan solusi persamaan Pell x^2 - 2y^2 = 1, kita dapat menggunakan metode iteratif atau metode algoritma. Salah satu pendekatan yang umum digunakan adalah menggunakan fraksi kontinu dari akar kuadrat dari D.

Untuk kasus D = 2, akar kuadratnya adalah √2. Dalam fraksi kontinu, kita ekspresikan akar kuadrat dari 2 sebagai pecahan berulang:

√2 = [1; 2, 2, 2, ...]

Dengan demikian, kita dapat mengaproksimasi akar kuadrat dari 2 sebagai berikut:

√2 ≈ 1 + 1/(2 + 1/(2 + 1/(2 + ...)))

Kemudian, kita dapat menemukan solusi (x, y) dari persamaan Pell dengan mengambil konvergen dari fraksi kontinu di atas. Beberapa pasangan solusi (x, y) dari persamaan Pell x^2 - 2y^2 = 1 adalah:

(x, y) = (1, 1)

(x, y) = (7, 5)

(x, y) = (41, 29)

(x, y) = (239, 169)

(x, y) = (1393, 985)

(x, y) = (8119, 5741)

Bentuk pasangan solusi tersebut dipenuhi persamaan Pell x^2 - 2y^2 = 1 dalam bilangan bulat. Jumlah pasangan solusi (x, y) ini dapat terus berkembang dengan menggunakan metode fraksi kontinu atau pendekatan matematis lainnya.