QUIS #8
Buktikan teorema König, yang menyatakan bahwa dalam graf takberarah yang terhubung, jumlah derajatnya sama dengan jumlah simpulnya.
Buktikan teorema König, yang menyatakan bahwa dalam graf takberarah yang terhubung, jumlah derajatnya sama dengan jumlah simpulnya.
Jawaban:
Untuk membuktikan teorema König, pertama kita asumsikan bahwa graf yang diberikan adalah sederhana (tidak memiliki multi-sisi atau self-loop), karena jika tidak, kita dapat mengubahnya menjadi graf sederhana dengan menghapus multi-sisi dan self-loop tersebut.
Selanjutnya, mari hitung jumlah semua derajat simpul dalam graf ini. Karena graf terhubung, setiap simpul minimal memiliki derajat 1. Oleh karena itu, jumlah derajat simpul minimal adalah paling tidak sebesar jumlah simpul.
Mari kita asumsikan bahwa ada simpul dengan derajat lebih dari 1. Kita akan menunjukkan bahwa setidaknya ada satu simpul dengan derajat kurang dari 1.
Misalkan ada simpul dengan derajat paling sedikit 2. Pilih satu sisi dari simpul ini dan hapus sisi tersebut. Sekarang kita memiliki graf yang terhubung dengan satu simpul dan satu sisi yang telah dihapus. Jumlah derajat simpul dalam graf ini adalah paling tidak sebesar jumlah simpul dikurangi 1.
Lakukan proses ini berulang kali sampai tidak ada simpul dengan derajat lebih dari 1 yang tersisa. Pada titik ini, kita akan memiliki graf dengan derajat simpul yang semuanya adalah 1. Oleh karena itu, jumlah derajat simpul dalam graf ini adalah tepat sama dengan jumlah simpulnya.
Dengan demikian, teorema König terbukti, yaitu dalam graf takberarah yang terhubung, jumlah derajatnya sama dengan jumlah simpulnya.