Question

QUIS #7



Bagaimana cara menentukan apakah suatu persamaan diferensial parsial adalah linier atau non-linier?​

Answer 1

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Untuk menentukan apakah suatu persamaan diferensial parsial (PDP) adalah linier atau non-linier, kita perlu memperhatikan beberapa hal berikut:

1. Bentuk Persamaan: Jika persamaan hanya mengandung turunan pertama atau turunan kedua dari variabel dependen (atau lebih rendah), maka PDP tersebut dapat dikategorikan sebagai linier. Misalnya, persamaan seperti persamaan panas atau persamaan gelombang yang mengandung turunan pertama atau turunan kedua dari variabel dependen adalah contoh PDP linier.

Namun, jika persamaan mengandung turunan yang lebih tinggi (misalnya turunan ketiga atau lebih tinggi) atau mengandung turunan dari variabel dependen yang dikuadratkan atau dikalikan bersama, maka PDP tersebut dapat dikategorikan sebagai non-linier. Misalnya, persamaan Euler yang mengandung turunan ketiga dari variabel dependen adalah contoh PDP non-linier.

2. Koefisien Persamaan: Jika koefisien persamaan hanya bergantung pada variabel independen, maka PDP tersebut dapat dikategorikan sebagai linier. Misalnya, persamaan panas dengan koefisien konstan adalah contoh PDP linier.

Namun, jika koefisien persamaan bergantung pada variabel dependen, misalnya, jika koefisien tersebut merupakan fungsi non-linear dari variabel dependen atau turunan dari variabel dependen, maka PDP tersebut dapat dikategorikan sebagai non-linier. Misalnya, PDP yang mengandung koefisien non-linear seperti persamaan Burgers adalah contoh PDP non-linier.

3. Operasi Persamaan: Jika persamaan hanya melibatkan operasi linier seperti penjumlahan, pengurangan, dan perkalian dengan konstanta, maka PDP tersebut dapat dikategorikan sebagai linier. Misalnya, persamaan difusi dengan operasi linier seperti penjumlahan dan perkalian konstanta adalah contoh PDP linier.

Tetapi, jika persamaan melibatkan operasi non-linier seperti pemangkatan, perkalian variabel dependen dengan turunannya, atau penggunaan fungsi non-linear, maka PDP tersebut dapat dikategorikan sebagai non-linier. Misalnya, persamaan Hamilton-Jacobi yang melibatkan operasi non-linier seperti pemangkatan dan perkalian variabel dependen dengan turunannya adalah contoh PDP non-linier.

Melalui pertimbangan ini, kita dapat menentukan apakah suatu PDP adalah linier atau non-linier. Namun, perlu diingat bahwa ini hanya merupakan panduan umum, dan analisis yang lebih mendalam mungkin diperlukan untuk PDP yang lebih kompleks.