Question

QUIS #6


Buktikan teorema Catalan, yang menyatakan bahwa bilangan Catalan (Cn) adalah deretan bilangan bulat positif yang muncul dalam banyak masalah kombinatorik, adalah irasional untuk setiap nilai n lebih besar dari 1.​

Answer 1

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Untuk membuktikan bahwa bilangan Catalan (Cn) adalah irasional untuk setiap nilai n lebih besar dari 1, kita akan menggunakan metode pembuktian dengan kontradiksi.

Misalnya, kita anggap bahwa Cn adalah bilangan rasional untuk suatu nilai n lebih besar dari 1. Dengan kata lain, kita anggap bahwa ada dua bilangan bulat positif p dan q, di mana q tidak sama dengan nol, sehingga Cn = p/q.

Kita mengingat bahwa bilangan Catalan memiliki definisi rekursif yang diberikan oleh rumus berikut:

Cn = (2n)! / ((n+1)! * n!)

Dalam rumus ini, faktorial menghasilkan bilangan bulat. Jadi, jika kita membagi faktorial-faktorial ini, p dan q juga harus menghasilkan bilangan bulat.

Namun, ketika kita ikutkan rumus rumus Cn = p/q dalam rumus rekursif, kita dapat menghapus faktorial-faktorial yang sama dalam pembilang dan penyebut, sehingga didapatkan p/q = (2n)! / ((n+1)! * n!)

Jika kita membagi setiap faktorial (n+1)! dan n! pada kedua sisi dengan masing-masing fakorial-faktorial ini, kita akan mendapatkan:

p/q = (2n)! / ((n+1)! * n!) = (2n)! / ((n+1)n!)

= (2n)(2n-1)(2n-2)...(n+3)(n+2)(n+1) / ((n+1)n(n-1)(n-2)...3*2*1)

Pada titik ini, kita dapat memperhatikan bahwa semua faktor di pembilang adalah bilangan bulat positif. Namun, di penyebut, terdapat faktor (n+1)n yang tidak dapat dibatalkan hingga 1. Ini mengimplikasikan bahwa faktorisasi (2n)! tidak dapat dicancel sepenuhnya, sehingga faktorisasi tersebut tidak akan membuahkan hasil yang menjadi bilangan bulat.

Dengan demikian, kita telah mencapai kontradiksi. Karena anggapan kita bahwa Cn adalah bilangan rasional mengarah pada kontradiksi, kita dapat menyimpulkan bahwa Cn haruslah irasional untuk setiap nilai n lebih besar dari 1.

Sebagai hasilnya, teorema Catalan terbukti, yang menyatakan bahwa bilangan Catalan (Cn) adalah irasional untuk setiap nilai n lebih besar dari 1.