Question

QUIS #2


Buktikan bahwa akar kuadrat dari dua adalah irasional.​

Answer 1

Jawaban:

Sebuah bilangan rasional adalah bilangan yang dapat diwakili sebagai pecahan dari dua bilangan bulat. Asumsikan bahwa akar kuadrat dari dua adalah bilangan rasional dan dapat diwakili sebagai pecahan p/q, di mana p dan q adalah bilangan bulat yang tidak memiliki faktor bersama selain 1.

√2 = p/q

Kemudian, kita kuadratkan kedua sisi persamaan tersebut:

2 = p^2 / q^2

Kemudian, kita dapatkan nilai p^2:

p^2 = 2q^2

Dengan demikian, p^2 harus merupakan bilangan genap, karena perkalian bilangan ganjil dengan bilangan ganjil akan menghasilkan bilangan ganjil, bukan bilangan genap.

Jika p^2 adalah bilangan genap, maka p juga harus bilangan genap. Misalkan p = 2r, di mana r adalah bilangan bulat.

Kemudian kita dapatkan nilai q^2:

q^2 = p^2 / 2 = (2r)^2 / 2 = 4r^2 / 2 = 2r^2

Seperti sebelumnya, karena q^2 juga bilangan genap, maka q juga harus bilangan genap.

Namun, hal ini berarti p dan q memiliki faktor bersama, yaitu 2, yang bertentangan dengan asumsi awal bahwa p/q tidak memiliki faktor bersama selain 1. Oleh karena itu, tidak mungkin ada pecahan p/q yang mewakili √2 dalam bentuk bilangan rasional. Sehingga, akar kuadrat dari dua (√2) dianggap irasional.