Las raíces o ceros de un polinomio son los valores que anulan el polinomio, por tanto su valor númerico es cero, esto es, {x=a} es una raíz de {P(x)} si {P(a)=0}.
Ejemplo:
Comprobar que 2 y 3 son las raíces del polinomio {P(x)=x^2-5x+6}.
1 Evaluamos 2 y 3 en {P(x)} y verificamos si el resultado es cero.
{P(2)=(2)^2-5(2)+6=4-10+6=0,}
{P(3)=(3)^2-5(3)+6=9-15+6=0}
2 Concluimos que 2 y 3 son raíces del polinomio {P(x)}.
Propiedades de las raíces y factores de un polinomio
1Los ceros o raíces enteras de un polinomio son divisores del término independiente del polinomio.
Ejemplo:
Si tenemos {P(x) = x^2-6x + 8}, las posibles raíces son divisores de {8: \pm 1, \pm 2, \pm 4} y {\pm 8}.
Evaluamos las posibles raíces en el polinomio y notamos que 2 y 4 son los únicos valores con los que se obtiene cero
{P(2) = 2^2 -6(2) + 8 = 4 -12 + 8 = 0,}
{P(4) = 4^2-6(4) + 8 = 16-24 + 8 = 0}
Concluimos que 2 y 4 son raíces del polinomio {P(x) = x^2-6x + 8}.
2A cada raíz del tipo {x = a}, le corresponde un binomio del tipo {(x-a)}.
Ejemplo:
Para {x = 2}, le corresponde el binomio {(x-2)}.
Para {x =-2}, le corresponde el binomio {(x + 2)}.
3Podemos expresar un polinomio en factores al escribirlo como producto de todos los binomios del tipo {(x-a)}, que se correspondan a las raíces, {x = a}, que se obtengan.
Ejemplo
{x^2-5x + 6 = (x-2)(x-3)}
4La suma de los exponentes de los binomios ha de ser igual al grado del polinomio.
5Todo polinomio que no tenga término independiente admite como raíz {x = 0}, o lo que es lo mismo, admite como factor {x}.
Ejemplo
{x^2 + x = x (x + 1)}
Raíces: {x = 0} y {x =-1}
6Un polinomio se llama irreducible (primo) cuando no puede descomponerse en factores.
Ejemplo:
{P(x) = x^2 + x + 1}
Las posibles raíces son los divisores del término independiente son {\pm 1}
{P(-1) = (-1)^2 + (-1) + 1 = 1-1 +1 \neq 0}
{P(1) = 1^2 + 1 + 1 = 1 + 1 +1 \neq 0}
Cálculo de las raíces y factores de un polinomio
Partimos de los divisores del término independiente, con estos valores aplicamos el teorema del resto o residuo y sabremos para que valores la división es exacta.
Ejemplo:
Encontrar las raíces del polinomio {P(x) = x^2-x-6}.
1 Buscamos los divisores del término independiente, estos son {\pm 1, \pm 2, \pm 3}.
2 Evaluamos los divisores en el polinomio
{P(1) = 1^2-1-6 \neq 0,}
{P(-1) = (-1)^2-(-1)-6 \neq 0,}
{P(2) = 2^2-2-6 \neq 0,}
{P(-2) = (-2)^2-(-2)-6 = 4 + 2-6 = 0,
{P(3) = 3^2-3-6 = 9-3-6 = 0,
Como el polinomio es de segundo grado tendrá como máximo dos raíces
3 Las raíces son {x =-2 \;} y {\; x = 3}.
4 La factorización del polinomio es {P(x) = (x + 2) (x-3)}
Ejemplo:
Encontrar las raíces del polinomio {Q(x) = x^3-2x^2-5x + 6}
1 Buscamos los divisores del término independiente, estos son {\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6}.
2 Evaluamos los divisores en el polinomio
{Q(1) = (1)^3-2(1)^2-5(1) + 6 = 0,}
{Q(-1) = (-1)^3-2(-1)^2-5(-1) + 6 \neq 0,}
{Q(2) = (2)^3-2(2)^2-5(2) + 6 \neq 0,}
{Q(-2) = (-2)^3-2(-2)^2-5(-2) + 6 = 0,}
{Q(3) = (3)^3-2(3)^2-5(3) + 6 = 0,}
Como el polinomio es de tercer grado tendrá como máximo tres raíces
3 Las raíces son {x = 1, x = -2 \;} y {\; x = 3}.
4 La factorización del polinomio es {Q(x) = (x-1) (x + 2) (x-3 )}
Ejemplo:
Encontrar las raíces del polinomio {R(x) = x^4-10x^2 + 9}
1 Buscamos los divisores del término independiente, estos son {\pm 1, \pm 3}.
2 Evaluamos los divisores en el polinomio
{R(1) = (1)^4-10(1)^2 + 9 = 0
{R(-1) = (-1)^4-10(-1)^2 + 9 = 0
{R(3) = (3)^4-10(3)^2 + 9 = 0
{R(-1) = (-3)^4-10(-3)^2 + 9 = 0
Como el polinomio es de cuarto grado tendrá como máximo cuatro raíces
3 Las raíces son {x = 1, x = -1, x = 3 \;} y {\; x = -3}.
4 La factorización del polinomio es {R(x) = (x + 1) (x-1) (x + 3) (x-3)
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Las raíces o ceros de un polinomio son los valores que anulan el polinomio, por tanto su valor númerico es cero, esto es, {x=a} es una raíz de {P(x)} si {P(a)=0}.
Ejemplo:
Comprobar que 2 y 3 son las raíces del polinomio {P(x)=x^2-5x+6}.
1 Evaluamos 2 y 3 en {P(x)} y verificamos si el resultado es cero.
{P(2)=(2)^2-5(2)+6=4-10+6=0,}
{P(3)=(3)^2-5(3)+6=9-15+6=0}
2 Concluimos que 2 y 3 son raíces del polinomio {P(x)}.
Propiedades de las raíces y factores de un polinomio
1Los ceros o raíces enteras de un polinomio son divisores del término independiente del polinomio.
Ejemplo:
Si tenemos {P(x) = x^2-6x + 8}, las posibles raíces son divisores de {8: \pm 1, \pm 2, \pm 4} y {\pm 8}.
Evaluamos las posibles raíces en el polinomio y notamos que 2 y 4 son los únicos valores con los que se obtiene cero
{P(2) = 2^2 -6(2) + 8 = 4 -12 + 8 = 0,}
{P(4) = 4^2-6(4) + 8 = 16-24 + 8 = 0}
Concluimos que 2 y 4 son raíces del polinomio {P(x) = x^2-6x + 8}.
2A cada raíz del tipo {x = a}, le corresponde un binomio del tipo {(x-a)}.
Ejemplo:
Para {x = 2}, le corresponde el binomio {(x-2)}.
Para {x =-2}, le corresponde el binomio {(x + 2)}.
3Podemos expresar un polinomio en factores al escribirlo como producto de todos los binomios del tipo {(x-a)}, que se correspondan a las raíces, {x = a}, que se obtengan.
Ejemplo
{x^2-5x + 6 = (x-2)(x-3)}
4La suma de los exponentes de los binomios ha de ser igual al grado del polinomio.
Ejemplos:
{x^2-x-6 = (x + 2) (x-3) \Longrightarrow 1 + 1 = 2}
{x^3 + 3x^2-4x-12 = (x-2) (x + 2) (x +3) \Longrightarrow 1 + 1 + 1 = 3}
{x^4-10x^2 + 9 = (x + 1) (x-1) (x + 3) (x-3) \Longrightarrow 1 + 1 + 1 + 1 = 4}
5Todo polinomio que no tenga término independiente admite como raíz {x = 0}, o lo que es lo mismo, admite como factor {x}.
Ejemplo
{x^2 + x = x (x + 1)}
Raíces: {x = 0} y {x =-1}
6Un polinomio se llama irreducible (primo) cuando no puede descomponerse en factores.
Ejemplo:
{P(x) = x^2 + x + 1}
Las posibles raíces son los divisores del término independiente son {\pm 1}
{P(-1) = (-1)^2 + (-1) + 1 = 1-1 +1 \neq 0}
{P(1) = 1^2 + 1 + 1 = 1 + 1 +1 \neq 0}
Cálculo de las raíces y factores de un polinomio
Partimos de los divisores del término independiente, con estos valores aplicamos el teorema del resto o residuo y sabremos para que valores la división es exacta.
Ejemplo:
Encontrar las raíces del polinomio {P(x) = x^2-x-6}.
1 Buscamos los divisores del término independiente, estos son {\pm 1, \pm 2, \pm 3}.
2 Evaluamos los divisores en el polinomio
{P(1) = 1^2-1-6 \neq 0,}
{P(-1) = (-1)^2-(-1)-6 \neq 0,}
{P(2) = 2^2-2-6 \neq 0,}
{P(-2) = (-2)^2-(-2)-6 = 4 + 2-6 = 0,
{P(3) = 3^2-3-6 = 9-3-6 = 0,
Como el polinomio es de segundo grado tendrá como máximo dos raíces
3 Las raíces son {x =-2 \;} y {\; x = 3}.
4 La factorización del polinomio es {P(x) = (x + 2) (x-3)}
Ejemplo:
Encontrar las raíces del polinomio {Q(x) = x^3-2x^2-5x + 6}
1 Buscamos los divisores del término independiente, estos son {\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6}.
2 Evaluamos los divisores en el polinomio
{Q(1) = (1)^3-2(1)^2-5(1) + 6 = 0,}
{Q(-1) = (-1)^3-2(-1)^2-5(-1) + 6 \neq 0,}
{Q(2) = (2)^3-2(2)^2-5(2) + 6 \neq 0,}
{Q(-2) = (-2)^3-2(-2)^2-5(-2) + 6 = 0,}
{Q(3) = (3)^3-2(3)^2-5(3) + 6 = 0,}
Como el polinomio es de tercer grado tendrá como máximo tres raíces
3 Las raíces son {x = 1, x = -2 \;} y {\; x = 3}.
4 La factorización del polinomio es {Q(x) = (x-1) (x + 2) (x-3 )}
Ejemplo:
Encontrar las raíces del polinomio {R(x) = x^4-10x^2 + 9}
1 Buscamos los divisores del término independiente, estos son {\pm 1, \pm 3}.
2 Evaluamos los divisores en el polinomio
{R(1) = (1)^4-10(1)^2 + 9 = 0
{R(-1) = (-1)^4-10(-1)^2 + 9 = 0
{R(3) = (3)^4-10(3)^2 + 9 = 0
{R(-1) = (-3)^4-10(-3)^2 + 9 = 0
Como el polinomio es de cuarto grado tendrá como máximo cuatro raíces
3 Las raíces son {x = 1, x = -1, x = 3 \;} y {\; x = -3}.
4 La factorización del polinomio es {R(x) = (x + 1) (x-1) (x + 3) (x-3)
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