Question

Q.
Buktikan dengan prinsip induksi matematika bahwa semua bilangan asli n selalu berlaku:
n³ + 20 ≥ n² + 15 n, untuk n > 3.

Note: Mohon bantuannya

Answer 1

Jawab:
Pertidaksamaan n³ + 20 ≥ n² + 15n, untuk n > 3, dan n bilangan asli, terbukti.
 

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Pertidaksamaan yang ingin dibuktikan:
n³ + 20 ≥ n² + 15n, untuk n > 3, n bilangan asli.

Karena terdapat batasan n > 3, maka sebagai basis induksi digunakan n bilangan asli terkecil yang memenuhi, yaitu n = 4.

Pembuktian dengan Induksi Matematika

Langkah Dasar (Basis Induksi)
Untuk n = 4:
4³ + 20 ≥ 4² + 15·4
⇒ 84 ≥ 76
merupakan pernyataan yang benar.

Asumsi
Untuk n = k, diasumsikan benar bahwa:
k³ + 20 ≥ k² + 15k
Maka, harus ditunjukkan benar pula untuk n = k+1, yaitu:
(k+1)³ + 20 ≥ (k+1)² + 15(k+1)

Langkah Induksi

• Ruas kiri:
  (k+1)³ + 20
  = k³ + 3k² + 3k + 1 + 20
  = (k³ + 20) + 3k² + 3k + 1

• Ruas kanan:
  (k+1)² + 15(k+1)
  = k² + 2k + 1 + 15k + 15
  = (k² + 15k) + 2k + 16

Karena k bilangan asli seperti halnya n, maka:

• ruas kiri > k³ + 20, dan
• ruas kanan > k² + 15k.

Berdasarkan asumsi di atas, yaitu k³ + 20 ≥ k² + 15k, (k³ + 20) pada ruas kiri dan (k² + 15k) pada ruas kanan pertidaksamaan untuk n = k+1 tersebut dapat dianulir, sehingga pertidaksamaan yang harus diuji adalah:

3k² + 3k + 1 ≥ 2k + 16
⇒ 3k² + 3k – 2k ≥ 16 – 1
⇒ 3k² + k ≥ 15
⇒ k(3k + 1) ≥ 15

Untuk nilai n > 3 dan n bilangan asli, di mana n = k+1 ⇒ k = n – 1, jelas bahwa:
k > 3 – 1  ⇒ k > 2
⇒ Nilai k terkecil = 3

Dari pertidaksamaan k(3k + 1) ≥ 15, jika k = 3, maka 3k + 1 = 10, dan jelas bahwa 3·10 ≥ 15. Semakin besar k, semakin besar pula selisihnya dengan 15.

Oleh karena itu, pertidaksamaan tersebut benar, sehingga dapat disimpulkan bahwa (k+1)³ + 20 ≥ (k+1)² + 15(k+1) benar untuk n = k + 1 dengan n > 3, n bilangan asli.

KESIMPULAN

∴  n³ + 20 ≥ n² + 15n untuk n bilangan asli dan n > 3, terbukti.