Porównaj długość okresu (to znaczy liczbę cyfr okresu) z mianownikiem ułamka
a) 1/3
b) 1/7
c) 5/17
Określ, z ilu co najwyżej cyfr może się składać rozwinięcie dziesiętne liczby wymiernej p/q, gdzie p E Z i q E Z\{0}.
a) 1/3
b) 1/7
c) 5/17
Określ, z ilu co najwyżej cyfr może się składać rozwinięcie dziesiętne liczby wymiernej p/q, gdzie p E Z i q E Z\{0}.
[tex]\huge\begin{array}{ccc}a)&\dfrac{1}{3}=0,333...=0,(3)\end{array}[/tex]
[tex]\huge\begin{array}{ccc}b)&\dfrac{1}{7}=0,(142857)\end{array}[/tex]
[tex]\huge\begin{array}{ccc}c)&\dfrac{5}{17}=0,(2941176470588235)\end{array}[/tex]
Rozwinięcie dziesiętne ułamka zwykłego.
Rozwinięcie dziesiętne ułamka zwykłego to zamiana tego ułamka na ułamek dziesiętny.
Zbiór liczb wymiernych jest to zbiór wszystkich liczb, które można przedstawić w postaci ułamka zwykłego o liczniku i mianowniku całkowitym:
[tex]\mathbb{Q}=\left\{x:x=\dfrac{p}{q}\ \wedge\ p,q\in\mathbb{Z}\ \wedge\ q\neq0\right\}[/tex]
Każda liczba wymierna ma rozwinięcie dziesiętne skończone, albo nieskończone ale okresowe.
Aby zamienić ułamek zwykły na dziesiętny należy:
Jak poznać, czy ułamek zwykły będzie miał rozwinięcie dziesiętne skończone?
Jeżeli rozkład mianownika ułamka na czynniki pierwsze składa się tylko z 2 i/lub 5.
ROZWIĄZANIE:
W danych ułamkach widzimy, że nie możemy rozszerzyć ich do mianownika, który będzie potęgą liczby 10. Należy więc wykonać dzielenie licznika przez mianownik (skorzystamy z kalkulatora):
a)
[tex]\dfrac{1}{3}=1:3=0,(3)[/tex]
b)
[tex]\dfrac{1}{7}=1:7=0,(142857)[/tex]
c)
[tex]\dfrac{5}{17}=5:17=0,(2941176470588235)[/tex]
Pytanie dodatkowe:
Z ilu co najwyżej cyfr może składać się rozwinięcie dziesiętne liczby wymiernej?
Nie ma górnej granicy ilości cyfr w rozwinięciu dziesiętnym liczby wymiernej. Występuje przecież ułamek okresowy. W tym ułamku cyfr po przecinku jest nieskończenie wiele.