Fungsi Rekursif (2/2) 1. Definisikanlah operasi PERKALIAN dan PEMBAGIAN bilangan bulat sebagai relas.... Question from @4dministraktor

September 2022 1 9 Report

Fungsi Rekursif (2/2)

1. Definisikanlah operasi PERKALIAN dan PEMBAGIAN bilangan bulat sebagai relasi rekurens dalam bentuk notasi fungsional (notasi matematis).
2. Buatlah program (C/C++/Python) yang mengimplementasikan kedua relasi rekurens tersebut dalam bentuk fungsi rekursif, dan lakukan test dengan beberapa kasus.

henriyulianto

(Jawaban soal nomor 1 ada di bagian Pembahasan.)

Kode Program (Python)

import random

def kali(a, b) -> int:
if a == 0 or b == 0:
return 0
if a == 1:
return b
if b == 1:
return a
if a < 0 and b < 0:
return kali(abs(a), abs(b))
if a > 0 and b < 0:
return kali(b, a)
return a + kali(a, b - 1)

def bagi(a, b):
a_abs, b_abs = abs(a), abs(b)
if b == 0:
return 'tak terdefinisi'
if (a >= 0 and b > 0) or (a < 0 and b < 0):
# pencabangan untuk hasil positif
if a_abs < b_abs:
return 0
else:
return 1 + bagi(a_abs - b_abs, b_abs)
if (a < 0 and b >0) or (a > 0 and b < 0):
# pencabangan untuk hasil negatif
if a_abs <= b_abs:
return -1
else:
return -1 + bagi(a_abs - b_abs, -b_abs)

### Program Utama - test
print('\nUJI PERKALIAN REKURSIF')
try:
for i in range(0, 10):
a, b = random.randint(-99, 99), random.randint(-99, 99)
print(f'Menguji: kali({a}, {b}) == {a} * {b} ...')
assert kali(a, b) == a * b
except AssertionError:
# Terdapat kesalahan
print('=> Terdapat kesalahan dalam pengujian.')
print('=> Definisi fungsi kali() salah!')
else:
# Tidak ada kesalahan
print('=> Tidak ditemukan kesalahan dalam pengujian.')
print('=> Definisi fungsi kali() benar!')
print('---------------------')
print('UJI PEMBAGIAN (DIV) REKURSIF')
try:
for i in range(0, 10):
a, b = random.randint(-99, 99), random.randint(-99, 99)
print(f'Menguji: bagi({a}, {b}) == {a} // {b} ...')
assert bagi(a, b) == a // b
except AssertionError:
# Terdapat kesalahan
print('=> Terdapat kesalahan dalam pengujian.')
print('=> Definisi fungsi bagi() salah!')
else:
# Tidak ada kesalahan
print('=> Tidak ditemukan kesalahan dalam pengujian.')
print('=> Definisi fungsi bagi() benar!')
______________

Output Hasil Eksekusi (Pengujian)

UJI PERKALIAN REKURSIF
Menguji: kali(88, 54) == 88 * 54 ...
Menguji: kali(-19, 29) == -19 * 29 ...
Menguji: kali(-78, -10) == -78 * -10 ...
Menguji: kali(-2, -49) == -2 * -49 ...
Menguji: kali(42, 82) == 42 * 82 ...
Menguji: kali(96, 88) == 96 * 88 ...
Menguji: kali(62, -32) == 62 * -32 ...
Menguji: kali(34, 81) == 34 * 81 ...
Menguji: kali(46, 73) == 46 * 73 ...
Menguji: kali(22, 37) == 22 * 37 ...
=> Tidak ditemukan kesalahan dalam pengujian.
=> Definisi fungsi kali() benar!
---------------------
UJI PEMBAGIAN (DIV) REKURSIF
Menguji: bagi(-59, -86) == -59 // -86 ...
Menguji: bagi(34, -39) == 34 // -39 ...
Menguji: bagi(59, 19) == 59 // 19 ...
Menguji: bagi(-68, -30) == -68 // -30 ...
Menguji: bagi(33, -8) == 33 // -8 ...
Menguji: bagi(66, -71) == 66 // -71 ...
Menguji: bagi(36, 34) == 36 // 34 ...
Menguji: bagi(-21, -49) == -21 // -49 ...
Menguji: bagi(79, -37) == 79 // -37 ...
Menguji: bagi(-21, 92) == -21 // 92 ...
=> Tidak ditemukan kesalahan dalam pengujian.
=> Definisi fungsi bagi() benar!
______________

Pembahasan

Kita sudah tahu sifat identitas perkalian dan pembagian, yaitu $a \times 1 = a$ dan $a \div 1 = a$ . Namun, perlu diingat lagi bahwa operasi aritmetika pembagian tidak bersifat tertutup, karena dapat menghasilkan bilangan rasional, yang tentunya di luar himpunan bilangan bulat.

Oleh karena itu, menurut saya, batasan dari operasi pembagian pada pertanyaan adalah pembagian yang menghasilkan bilangan bulat, tanpa memperhitungkan sisa pembagian jika pembagi tak habis membagi bilangan yang dibagi.

Beberapa hal yang perlu diperhatikan pada operasi pembagian bilangan bulat (div) adalah:

Pembagian tak terdefinisi jika pembagi = 0.
Sesuai teorema faktor dan sisa pembagian, $a \div b = c$ jika dan hanya jika $a = bc + r$ , $r \ge 0$ .
Maka, jika a atau b berbeda tanda, hasil pembagiannya adalah bilangan bulat negatif terbesar yang kurang dari $a/b$ .

Misalnya: $2 \div 3 = 0$ (dengan sisa 2). Tetapi $-2 \div 3 = -1$ (dengan sisa positif 1).

Definisi relasi rekurens dari kedua operasi tersebut dapat dinyatakan dengan:

$\begin{aligned}{\tt kali}(a,b)=\begin{cases}0\,,&{\rm jika\ }a=0\ {\rm atau\ }b=0\\a\,,&{\rm jika\ }b=1\\b\,,&{\rm jika\ }a=1\\{\tt kali}(|a|,|b|)\,,&{\rm jika\ }a < 0\ {\rm dan\ }b < 0\\{\tt kali}(b,a)\,,&{\rm jika\ }a > 0\ {\rm dan\ }b < 0\\a+{\tt kali}(a,b-1)\,,\!\!\!&{\rm jika\ }a > 0\ {\rm dan\ }b > 0\\\end{cases}\end{aligned}$

$\begin{aligned}{\tt bagi}(a,b)=\begin{cases}\vphantom{\Big|}\text{tak terd{ef}inisi}\,,&{\rm jika\ }b=0\\0\,,&{\rm jika\ }{\tt kali}(a,b) \ge 0\\&{\rm dan\ }|a| < |b|\\1+{\tt bagi}(|a|-|b|,|b|)\,,&{\rm jika\ }{\tt kali}(a,b) \ge 0\\&{\rm dan\ }|a| \ge |b|\\-1\,,&{\rm jika\ }{\tt kali}(a,b) < 0\\&{\rm dan\ }|a| \le |b|\\-1+{\tt bagi}(|a|-|b|,-|b|)\,,\!&{\rm jika\ }{\tt kali}(a,b) < 0\\&{\rm dan\ }|a| > |b|\\\end{cases}\end{aligned}$