Question

Punkty A(2, -1) i B(-1, - 10) naleza do prostej, która jest podstawa trójkata ABC. Punkt C(-4, 5) jest wierzcholkiem trojkata.
a) oblicz odleglosc punktu C od prostej AB,
b) oblicz pole trójkata ABC.
Wykonaj rysunek w prostokatnym ukladzie wspoltzednych.

Answer 1

Odpowiedź:

A = ( 2 , - 1 ) , B = ( - 1 , - 10 ) , C = ( - 4 , 5 )

xa = 2 , xb = - 1 , xc = - 4

ya = - 1 , yb = - 10 , yc = 5

a)

Obliczamy prostą przechodzącą przez punkty A i B

(xb - xa)(y - ya) = (yb - ya)(x - xa)

(- 1 - 2)(y + 1) = (- 10 + 1)(x - 2)

- 3(y + 1) = - 9(x - 2)

- 3y - 3 = - 9x + 18

- 3y = - 9x + 18 + 3

- 3y = - 9x + 21

3y = 9x - 21 | : 3

y = 3x - 7

Postać ogólna funkcji liniowej

3x - y - 7 = 0

Ax - By + C = 0

A = 3 , B = - 1 , C = - 7 ; C = (- 4 , 5 )

d - odległość punktu C od prostej = IAxc + Byc + CI/√(A² + B²) =

= I3 * (- 4) + (- 1) * 5 - 7I/√[3² + (- 1)²] = I- 12 - 5 - 7I/√(9 + 1) =

= I- 24I/√10 = 24/√10 = 24√10/10 = 2,4√10

b)

I sposób

P - pole trójkąta = 1/2I(xb - xa)(yc - ya) - (yb - ya)(xc - xa)I =

= 1/2I(- 1 - 2)(5 + 1) - (- 10 + 1)(- 4 - 2) = 1/2I(- 3 * 6 - (- 9) * (- 6)I =

= 1/2I- 18 - 54I = 1/2I- 72I = 1/2 * 72 = 36

II sposób

IABI = √[(xb - xa)² + (yb - ya)²] = √[(- 1 - 2)² + (- 10 + 1)²] = √[(- 3)² + (- 9)²] =

= √(9 + 81) = √90 = √(9 * 10) = 3√10

h - wysokość trójkąta = d = 2,4√10

P = 1/2 * IABI * h = 1/2 * 3√10 * 2,4√10 = 1/2 * 7,2 * 10 = 1/2 * 72 = 36

Rysunek w załączniku