Question

Punkty a(2,-1) i b(-1,-10) należą do prostej, która jest podstawą trójkąta ABC. Punkt C(-4,5) JEST WIERZchołkiem trójkąta

Answer 1

Odpowiedź:

a)

[tex]d=2,4\sqrt{10}[/tex]

b)

P=36

Szczegółowe wyjaśnienie:

Na początek równanie prostej przechodzącej przez 2 punkty

Układ równań i za x i y podstawiamy współrzędne punktów

[tex]\left \{ {{-1=2a+b} \atop {-10=-a+b}|*(-1)\right. \\\\+\left \{ {{-1=2a+b} \atop {10=a-b\right. \\\\3a=9\\a=3\\b=3-10\\b=-7[/tex]

prosta przechodząca przez punkty A i B ma równanie

[tex]y=3x-7[/tex]

a)

Aby obliczyć odległość punktu C od prostej najpierw należy ją przekształcić do postaci ogólnej:

[tex]y=3x-7 > > 3x-y-7=0[/tex]

a następnie skorzystać z wzoru na odległość punktu od prostej:  

[tex]d=\frac{|A*x_{0}+B*y_{0}+C| }{\sqrt{A^{2}+B^{2} } }[/tex]

gdzie [tex]C(x_{0}; y_{0})[/tex]  współrzędne punktu a A B C to współczynniki ogólnego równania prostej Ax+By+C=0

[tex]d=\frac{|3*(-4)-1*5+-7| }{\sqrt{3^{2}+(-1)^{2} } }=\frac{|-12-5-7|}{\sqrt{10} } =2,4\sqrt{10}[/tex]

d - jest to wysokość trójkąta

b)

Aby obliczyć pole trójkąta należy obliczyć długość podstawy:

[tex]a=\sqrt{(2-(-1))^{2}+((-1)-(-10))^{2}} =\sqrt{3^{2}+9^{2} } =\sqrt{90}=3\sqrt{10}[/tex]

Pole trójkąta:

[tex]P=\frac{1}{2} *a*d=\frac{1}{2} *3\sqrt{10} *2,4\sqrt{10} =36[/tex]

Rysunek w załączniku - trzeba połączyć kropki - dasz radę

Na rysunku jest zaznaczona wysokość (jako wektor ) oraz punkt D miejsce przecięcia wysokości z prostą AB zawierającą bok trójkąta.