Question

Punkty A, B, C, D leżą na okręgu K. Inne okręgi K1, K2, K3 i K4 są opisane na czworokątach ABTS, BCUT, CDWU i DASW odpowiednio. Udowodnić, że STUW jest czworokątem cyklicznym.

Answer 1

Verified answer

Czworokąt wpisany w okrąg. Dowodzenie.

Czworokąt cykliczny to czworokąt wpisany w okrąg. Czyli jest to czworokąt, którego wszystkie wierzchołki leżą na okręgu.

Twierdzenia:

• Jeżeli czworokąt jest wpisany w okrąg, to suma miar przeciwległych kątów tego czworokąta wynosi 180°.
• Suma miar kątów wewnętrznych w każdym czworokącie wynosi 360°.

Kreślimy rysunek poglądowy i wprowadzamy oznaczenia (załącznik).

Do wykazania mamy, że:

∠1 + ∠14 + ∠6 + ∠9= 180° lub ∠2 + ∠5 + ∠10 + ∠13 = 180°

Jako, że czworokąty ABTS, BCUT, CDWU i DASW są wpisane w okręgi, to na podstawie twierdzenia otrzymujemy równości:

(*)

ABTS:

∠1 + ∠3 = 180°

∠2 + ∠4 = 180°

BCUT:

∠5 + ∠7 = 180°

∠6 + ∠8 = 180°

CDWU:

∠9 + ∠11 = 180°

∠10 + ∠12 = 180°

DASW:

∠13 + ∠15 = 180°

∠14 + ∠16 = 180°

Z (*) otrzymujemy (**):

∠1 + ∠3 = 180°

∠6 + ∠8 = 180°

dodajemy stronami:

∠1 + ∠3 + ∠6 + ∠8 = 360°

oraz

∠9 + ∠11 = 180°

∠14 + ∠16 = 180°

dodajemy stronami:

∠9 + ∠11 + ∠14 + ∠16 = 360°

Widzimy, że w każdym wierzchołku czworokąta ABCD wszystkie kąty dają

kąt pełny 360°. Stąd otrzymujemy (***):

α + ∠1 + ∠15 = 360°

β + ∠3 + ∠8 = 360°

γ + ∠7 + ∠12 = 360°

δ + ∠11 + ∠16 = 360°

Dodajmy równania stronami

α + ∠1 + ∠15 = 360° i γ + ∠7 + ∠12 = 360°

oraz

β + ∠3 + ∠8 = 360° i δ + ∠11 + ∠16 = 360°

otrzymując

α + ∠1 + ∠15 + γ + ∠7 + ∠12 = 720°

oraz

β + ∠3 + ∠8 + δ + ∠11 + ∠16 = 720°

Czworokąt ten jest również wpisany w okrąg. Czyli na podstawie twierdzenia otrzymujemy, że:

α + γ = 180°

β + δ = 180°

stąd otrzymujemy:

∠1 + ∠15 + ∠7 + ∠12 + 180° = 720°⇒ ∠1 + ∠15 + ∠7 + ∠12 = 540°

oraz

∠3 + ∠8 + ∠11 + ∠16 + 180° = 720°⇒ ∠3 + ∠8 + ∠11 + ∠16 = 540°

Przekształćmy drugie równanie:

∠3 + ∠8 + ∠11 + ∠16 = 540°

∠11 + ∠16 = 540° - ∠3 - ∠8

Podstawiamy do drugiego równania z (**):

∠9 + ∠11 + ∠14 + ∠16 = 360°

∠9 + ∠14 +   540° - ∠3 - ∠8 = 360°

Otrzymując dwa równania, które dodamy stronami:

∠1 + ∠3 + ∠6 + ∠8 = 360°

∠9 + ∠14 +   540° - ∠3 - ∠8 = 360°

∠1 + ∠3 + ∠9 + ∠14 + 540° = 360°   |-540°

∠1 + ∠14 + ∠3 + ∠9 = 180°        ■