Question

Punkt P jest odległy od środka okręgu o 13,5 cm. Z punktu P poprowadzono dwie styczne do okręgu w punktach A i B. Promień okręgu jest połową odległości punktu P od środka okręgu.
Oblicz miarę kąta APB.

Answer 1

|∡APB| ≈ 60°

Styczna do okręgu.

Styczna do okręgu prosta, która ma dokładnie jedne punkt wspólny z okręgiem.

Twierdzenia:

• Promień poprowadzony do punktu styczności jest prostopadły do stycznej.
• Suma miar kątów wewnętrznych w każdym trójkącie wynosi 180°.
• Długości boków w trójkącie o kątach 30°, 60° i 90° są w stosunku
  1 : √3 : 2.

ROZWIĄZANIE:

SPOSÓB 1:

Jako, że przyprostokątna jest dwa razy krótsza od przeciwprostokątnej, to na podstawie zależności miarowych w trójkącie o kątach 30°, 60° i 90° otrzymujemy, że |∡AOP| = 60°.

Na podstawie twierdzenia o sumie miar kątów w trójkącie mamy:

[tex]\dfrac{1}{2}\alpha=180^o-(90^o+60^o)\\\\\dfrac{1}{2}\alpha=180^o-150^o\\\\\dfrac{1}{2}\alpha=30^o\qquad|\cdot2\\\\\boxed{\alpha=60^o}[/tex]

SPOSÓB 2:

Skorzystamy z funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym.

Daną mamy długość przeciwprostokątnej |OP| = 13,5cm oraz obliczymy długość przyprostokątnej OA, która stanowi promień okręgu równy połowie odcinka OP.

[tex]|OA|=\dfrac{1}{2}\cdot13,5cm=6,75cm[/tex]

Dane są przyprostokątna leżąca naprzeciw kąta oraz przeciwprostokątna. W związku z tym skorzystamy z funkcji sinus:

[tex]\sin\frac{1}{2}\alpha=\dfrac{|OA|}{|OP|}[/tex]

Podstawiamy:

[tex]\sin\dfrac{1}{2}\alpha=\dfrac{6,75}{13,5}\\\\\sin\dfrac{1}{2}\alpha=\dfrac{1}{2}=0,5[/tex]

Wartość kąta odczytujemy z tablic wartości funkcji trygonometrycznych dostępnych w karcie wzorów.

[tex]\dfrac{1}{2}\alpha=30^o\qquad|\cdot2\\\\\boxed{\alpha=60^o}[/tex]