Question

punkt B(-1 , 7) leży na ramieniu końcowym kata alfa ,
natomiast punkt C(✓15 , ✓10 ) leży na ramieniu końcowym kąta beta
oblicz wyrażenie
7sin beta * cos beta
dzielone przez
sin alfa * cos alfa
i na końcu dodać 30 tg beta

prośba o pomoc​

Answer 1

Verified answer

Funkcje trygonometryczne dowolnego kąta

Jeżeli kąt α jest zawarty pomiędzy dodatnią półosią układu współrzędnych a ramieniem końcowym wyznaczonym przez punkt P=(x, y), to funkcje trygonometryczne tego kąta wyraża się wzorami:

[tex]\huge\boxed{\begin{array}{ll}sin\alpha=\dfrac{y}r,&cos\alpha=\dfrac{x}r\\\\tg\alpha=\dfrac{y}x,&ctg\alpha=\dfrac{x}y\end{array}}[/tex]

gdzie r to długość ramienia:

[tex]\huge\boxed{r=\sqrt{x^2+y^2}}[/tex]

Zadanie:

Wiemy, że punkt B=(-1, 7) leży na ramieniu końcowym kąta α, a punkt C=(√15, √10) leży na ramieniu końcowym kąta β.

W zadaniu należy obliczyć wartość wyrażenia:

[tex]\dfrac{7sin\beta cos\beta}{sin\alpha cos\alpha}+30tg\beta[/tex]

Korzystając z definicji funkcji trygonometrycznych dowolnych kątów, obliczamy wartości funkcji trygonometrycznych potrzebnych do obliczenia wartości wyrażenia:

[tex]sin\alpha=\dfrac{7}{\sqrt{(-1)^2+7^2}}=\dfrac7{\sqrt{1+49}}=\dfrac{7}{\sqrt{50}}=\dfrac{7}{5\sqrt2}=\dfrac{7\sqrt2}{5\cdot 2}=\dfrac{7\sqrt2}{10}[/tex]

[tex]cos\alpha=\dfrac{-1}{\sqrt{50}}=\dfrac{-1}{5\sqrt2}=\dfrac{-\sqrt2}{5\cdot 2}=-\dfrac{\sqrt2}{10}[/tex]

[tex]sin\beta=\dfrac{\sqrt{10}}{\sqrt{(\sqrt{15})^2+(\sqrt{10})^2}}=\dfrac{\sqrt{10}}{\sqrt{15+10}}=\dfrac{\sqrt{10}}{\sqrt{25}}=\dfrac{\sqrt{10}}5\\\\\\cos\beta=\dfrac{\sqrt{15}}5\\\\tg\beta=\dfrac{\sqrt{10}}{\sqrt{15}}=\dfrac{\sqrt{10\cdot 15}}{15}=\dfrac{\sqrt{150}}{15}=\dfrac{\sqrt{25\cdot 6}}{15}=\dfrac{5\sqrt{6}}{15}=\dfrac{\sqrt6}{3}[/tex]

Podstawiamy wartości funkcji do wyrażenia i obliczamy:

[tex]\dfrac{7\cdot \dfrac{\sqrt{10}}5\cdot \dfrac{\sqrt{15}}5}{\dfrac{7\sqrt{2}}{10}\cdot \left(-\dfrac{\sqrt2}{10}\right)}+30\cdot \dfrac{\sqrt6}3=\\\\\\=\dfrac{\dfrac{7\sqrt{150}}{25}}{-\dfrac{7\cdot 2}{100}}+10\sqrt6\\\\\\=\dfrac{\dfrac{35\sqrt6}{25}}{-\dfrac7{50}}+10\sqrt6=\\\\\\\\=\dfrac{\dfrac{7\sqrt6}{5}}{-\dfrac7{50}}+10\sqrt6=\\\\\\=\dfrac{7\sqrt6}5\cdot \left(-\dfrac{50}7\right)+10\sqrt6=\sqrt6\cdot (-10)+10\sqrt6=-10\sqrt6+10\sqrt6=\boxed{0}[/tex]