Question

Przy jakiej największej ogólnej wartości parametru n nierówność zachodzi dla wszystkich x є R?

Answer 1

Odpowiedź:

[tex]n=4[/tex]

Szczegółowe wyjaśnienie:

Znajdźmy dziedzinę nierówności.

[tex]x^2+x+2\neq 0\\\Delta=1^2-4*1*2=1-8=-7 < 0[/tex]

Skoro [tex]\Delta < 0[/tex], to

[tex]D=\mathbb{R}[/tex]

Ponadto skoro współczynnik [tex]a=1 > 0[/tex], to parabola w całości znajduje się nad osią OX. Stąd obie strony nierówności można pomnożyć przez mianownik.

[tex]\frac{nx^2+x+4}{x^2+x+2} < 5\ |*(x^2+x+2)\\\\nx^2+x+4 < 5x^2+5x+10\\\\nx^2+x+4-5x^2-5x-10 < 0\\\\(n-5)x^2-4x-6 < 0[/tex]

Aby powyższa nierówność zachodziła dla wszystkich liczb rzeczywistych, parabola musi znajdować się w całości pod osią OX. Stąd muszą być spełnione 2 warunki:

Warunek 1.

[tex]n-5 < 0\\n < 5\\n\in(-\infty,5)[/tex]

Warunek 2.

[tex]\Delta < 0\\(-4)^2-4*(n-5)*(-6) < 0\\16+24(n-5) < 0\\16+24n-120 < 0\\24n-104 < 0\\24n < 104\ |:24\\n < \frac{104}{24}\\n < \frac{13}{3}\\n < 4\frac{1}{3}\\n\in\left(-\infty,4\frac{1}{3}\right )[/tex]

Oba warunki spełnia przedział:

[tex]n\in\left(-\infty,4\frac{1}{3}\right )[/tex]

Zatem największą całkowitą wartością parametru n spełniającą warunki zadania jest

[tex]n=4[/tex]