Question

Przez nieważki blok przerzucona jest nitka, na końcach której zaczepione są dwa obciążniki o masach m1=20g i m2=40g. Obciążnik m2 podniesiono do góry na wysokość H = 3m, tak, że m1 dotknął podłoża. Na jaką największą wysokość podniesie się obciążnik m1, jeżeli swobodnie puścimy obciążnik m2?

Answer 1

Kiedy obciążnik m2 zostanie puszczony oba odważniki będą przyspieszać. Kiedy odważnik m2 uderzy o ziemię, wtedy m1 podniesie się na wysokość H. Jednak to nie wszystko, bo będzie miał wtedy prędkość, która sprawi, że podniesie się nieco wyżej. Trzeba tą prędkość policzyć:

 

Na początku musimy wyznaczyć z jakimś przyspieszeniem poruszają się krążki. Do tego celu wyznaczamy układ równań, gdzie N to siła naciągu linki:

 

 

Dodajemy stornami równania:

 

 

oraz wyznaczamy przyspieszenie a:

 

 

Podstawmy teraz wartości, to będzie przyjemniej dalej liczyć:

 

 

 

 

Teraz musimy się dowiedzieć z jaką prędkością porusza się m1 w chwili kiedy znajduje się na wysokości H, czyli wtedy kiedy siła naciągu linki przestaje na niego działać. Trzeba przekształcić wzory:

 

 

ale niestety nie znamy czasu przez jaki ciało się wznosi, jednak możemy go obliczyć z wzoru:

 

 

Podstawmy więc s = H oraz odpowiednie przyspieszenie:

 

 

Musimy przekształcić wzór by uzyskać t:

 

 

Teraz możemy podstawić do wzoru na prędkość:

 

 

Wiemy, że ciało m1 leci na wysokość co najmniej H. Potem siła naciągu linki przestaje na niego działać i ciało porusza się bezwładnie z wyliczoną prędkością. Skorzystamy teraz dla ułatwienia z zasady zachowania energii, dzięki której policzymy na jaką wysokóść dodatkowo się wzniesie ciało. Nazwijmy tą wysokość Hd.

 

Na początek trzeba przyjąć, że nawysokości H ciało ma energię potencjalną równą 0 oraz energię kinetyczną związaną z prędkością jaką wyliczyliśmy. Stosując zasadę zachowania energii uzyskujemy, że:

 

 

czyli po skróceniu masy i podstawieniu prędkości:

 

 

Na końcu skracamy wszystko co się da otrzymując:

 

 

To wysokość dodatkowa na jaką się wzniesie ciało... Wysokość całkowita z kolei to wysokość H + Hd:

 

 

Zatem wysokość na jaką wzniesie się ciężarek m1 wynosi: