Question

Przekątne trapezu równoramiennego dzielą kąty przy dłuższej podstawie na połowy i przecinają się pod kątem 120°. Dłuższa podstawa ma 12 cm. Oblicz POLE tego trapezu.

Proszę o pomoc!

Answer 1

Rozważmy trapez równoramienny ABCD, w którym AB to dłuższa podstawa o długości 12 cm, a CD to krótsza podstawa. Zgodnie z treścią zadania, przekątne AC i BD dzielą kąty przy podstawie AB na połowy oraz przecinają się pod kątem 120°.

Oznaczmy punkt przecięcia przekątnych jako E. Zauważmy, że trójkąty ABE i CDE są równoramienne (mają po jednym kącie równym 60° oraz bokach AB = CD i BE = DE), co oznacza, że są one podobne.

Ponieważ przekątne dzielą kąty przy podstawie na połowy, to kąty AEB i CED są równe. Zatem trójkąty AEB i CED są przystające, a ich boki są w stosunku AB:CD, czyli 12:x, gdzie x to długość krótszej podstawy.

Możemy zatem zapisać równanie proporcji:

AB/CD = AE/CE

12/x = AE/CE

Możemy teraz wyznaczyć stosunek długości boku trapezu do jego wysokości. Zauważmy, że trójkąty AEB i AEC są podobne, ponieważ mają dwa kąty równe oraz bok AE wspólny. Stosunek długości boków tych trójkątów jest zatem równy stosunkowi długości ich wysokości:

BE/AE = AE/EC

BE/EC = (AE)^2

Ponieważ trójkąt AEB jest równoramienny, to BE = AB/2, czyli BE = 6 cm. Z kolei trójkąt AEC jest podobny do trójkąta AEB, więc stosunek długości boku do wysokości wynosi:

AB/AE = 2 x (EC/AE)

AB/2AE = EC/AE

EC = AB/2 = 6 cm

Stosując wzór na pole trapezu, możemy teraz obliczyć pole ABCD:

P = (AB + CD) x h / 2

P = (12 + x) x EC / 2

P = (12 + x) x 6 / 2

P = 18x

Podsumowując, pole trapezu równoramiennego o dłuższej podstawie 12 cm i przekątnych dzielących kąty przy podstawie na połowy oraz przecinających się pod kątem 120° wynosi 18x, gdzie x to długość krótszej podstawy. Aby obliczyć pole, należy zatem wyznaczyć długość tej podstawy. Z równania proporcji wynika, że x = 12 / cos(60°) = 24. Stąd pole trapezu wynosi:

P = 18x = 18 x 24 = 432 cm²

Odpowiedź: Pole trapezu równoramiennego wynosi 432 cm².