Question

Przedstaw krok po kroku jak rozwiązać równanie | x− 2| − 3|x + 4| ≥ 5.

Pamiętaj o rozpatrzeniu odpowiednich przypadków. Zwróć uwagę, by zawsze

sprawdzać zgodność rozwiązania z założeniem. W tym zadaniu, obok wyniku,

równie ważny jest opis sposobu dojścia do rozwiązania

Answer 1

Nierówność z wartością bezwzględną

Rozwiązywanie nierówności z wartością bezwzględną zaczynamy od:

• określenia "miejsc zerowych" wyrażeń zapisanych wewnątrz wartości bezwzględnych

x - 2 = 0   ⇔   x = 2

x + 4 = 0   ⇔   x = -4

Mamy dwa różne "miejsca zerowe", więc nierówność będziemy rozpatrywać w trzech przedziałach:

[tex]\Large\text{$\bold{\big({-}\infty,-4\big) ,\ \ \big < {-}4,\,2\big) ,\ \ \big < 2,\,\infty\big)}$}[/tex]

Definicja wartości bezwzględnej

mówi, że:

              [tex]\large\text{$\bold{|x|=}$}\begin{cases}\bold{\ x\quad dla\ x\ge0}\\\bold{-x\quad dla\ x < 0}\end{cases}[/tex]

{gdzie x może być liczbą albo dowolnym wyrażeniem algebraicznym}

Czyli:

[tex]\bold{|x-2|}=\begin{cases}\bold{\ x-2\quad dla\ x\ge2}\\\bold{-x+2\quad dla\ x < 2}\end{cases}\\\\\\\bold{|x+4|}=\begin{cases}\bold{\ x+4\quad dla\ x\ge-4}\\\bold{-x-4\quad dla\ x < -4}\end{cases}[/tex]

Zatem następnym krokiem jest

• określenie znaków wyrażeń wewnątrz wartości bezwzględnej w poszczególnych przedziałach i opuszczenie wartości bezwzględnej

1°   [tex]\large\text{$\bold{(-\infty,-4) }$}[/tex]

czyli x < -4 {więc jednocześnie x < 2}

stąd:

      |x - 2| = - x + 2

      |x + 4| = - x - 4

2°  [tex]\Large\text{$\bold{\big < {-}4,\,2\big) }$}[/tex]

czyli x ≥ -4, ale jednocześnie x < 2

stąd:

      |x - 2| = - x + 2

      |x + 4| = x + 4

3°   [tex]\Large\text{$\bold{\big < 2,\,\infty\big)}$}[/tex]

czyli x ≥ 2 {więc jednocześnie x ≥ 4}

stąd:

      |x - 2| = x - 2

      |x + 4| = x + 4

Teraz możemy

• zapisać nierówność bez wartości bezwzględnej i rozwiązać ją (osobno dla każdego z trzech przedziałów!)

1°   [tex]\large\text{$\bold{\big({-}\infty,-4\big) }$}[/tex]

         [tex]- x + 2 - 3(- x - 4) \ge5\\\\- x + 2 + 3x +12\ge5\\\\2x\ge-9\qquad/:2\\\\x\ge-4,5\quad\wedge\quad x\in\big({-}\infty,\,-4\big) \\\\\underline{\large\text{$\bold{ x\in\big < {-}4{,}5;\,-4\big) }$}}[/tex]

2°  [tex]\Large\text{$\bold{\big < {-}4,\,2\big) }$}[/tex]

        [tex]- x + 2 - 3(x+ 4) \ge5\\\\- x + 2 -3x-12\ge5\\\\-4x\ge15\qquad/:(-4)\\\\x\le-3{,}75\quad\wedge\quad x\in\big < {-}4,\,2\big) \\\\\underline{\large\text{$\bold{ x\in\big < {-}4;\,-3{,}75\big > }$}}[/tex]

3°   [tex]\Large\text{$\bold{\big < 2,\,\infty\big)}$}[/tex]

        [tex]x - 2 - 3(x+ 4) \ge5\\\\x - 2 -3x-12\ge5\\\\-2x\ge19\qquad/:(-2)\\\\x\le-9{,}5\quad\wedge\quad x\in\big < 2,\,\infty) \\\\\underline{\large\text{$\bold{ x\in\varnothing}$}}[/tex]

ostatnim krokiem jest

• połączenie otrzymanych rozwiązań z poszczególnych przedziałów

Czyli zsumowanie otrzymanych przedziałów:

         [tex]\large\text{$\bold{ x\in\big < {-}4{,}5;\,-4\big) \cup\big < {-}4;\,-3{,}75\big > \cup\varnothing}$}\\\\\\{}\quad\underline{\ \underline{\ \Large\text{$\bold{ x\in\big < {-}4{,}5;\,-3{,}75\big > }$}\ }\ }[/tex]