Question

Pręt jednorodny o długości 85 cm jest zawieszony na osi poziomej przechodzącej przez jego górny koniec. Jaką najmniejszą prędkość należy nadać dolnemu końcowi pręta, aby ten wykonał pełny obrót wokół osi?

za rozwiązanie daję naj.

Answer 1

Prędkość na dole musi być na tyle duża aby zgromadzona energia kinetyczna ruchu obrotowego równa była energii potencjalnej jaką uzyska pręt w najwyższym punkcie. Jeśli to będzie spełnione, to potem grawitacja już sobie poradzi z prętem i pociągnie go w dół.

 

Mowa oczywiście o energii potencjalnej środka ciężkości, który przypada w połowie długości L/2... Przyjmijmy, że jak pręt swobodnie zwisa, to wysokość środka masy znajduje się na poziomie 0. Kiedy pręt jest obrócony tak by koniec znajdował się w najwyższym punkcie, to środek ciężkości przesuwa się o długość L do góry. Dlatego energię potencjalną tego pręta w tym położeniu można zapisać jako:

 

 

Teraz energia kinetyczna na początku musi być co najmniej taka jak energia potencjalna. Mowa o energii kinetycznej ruchu obrotowego, która dana jest przez:

 

 

Moment bezwładności I dla osi przechodzącej przez koniec pręta wynosi:

 

 

Zaś zależność między prędkością liniową i kątową:

 

 

Podstawiając do wzoru na energię kinetyczną ruchu obrotowego otrzymane zalezności otrzymujemy:

 

 

Teraz porównując energie:

 

 

 

oraz skracając i wyliczając prędkość:

 

 

Wartość prędkości musi mieć minimalnie taką wartość aby pręt wykonał pełen obrót.

 

Podstaiając liczby otrzymujemy około:

 

v = 7.1m/s