Odpowiedź
a)
[tex](3x-5)(3x-5) > 0\\(3x-5)^2 > 0\\3x-5 > 0\\3x > 5\\x > \frac{5}{3} \\x > 1\frac{2}{3} \\[/tex]
x∈ ([tex]1\frac{2}{3}[/tex],∞)
b)
[tex]\frac{1}{2} (x-1)^2-8\leq 0\\\frac{1}{2} (x^2-2*x*1+1^2)-8\leq 0\\ \frac{1}{2} x^2-x+\frac{1}{2}-8\leq 0\\ \frac{1}{2} x^2-x-7\frac{1}{2} \leq 0\\\\[/tex]
Δ[tex]=b^2-4ac[/tex]
Δ[tex]=1^2-4*\frac{1}{2} *7\frac{1}{2} =1-2*\frac{15}{2} =1-15=-14[/tex]
brak miejsc zerowych
a>0
ramiona paraboli skierowane są w górę, jest nad osią x
x∈∅
c)
[tex]2(x-4)^2+5 > 0\\2(x^2-8x+16)+5 > 0\\2x^2-16x+32+5 > 0\\2x^2-16x+37 > 0[/tex]
Δ[tex]=(-16)^2-4*2*37=256-296=-40[/tex]
ramiona paraboli skierowane są w górę
x∈R
d)
[tex]2x(2x-7) < 7(2x-7)/:(2x-7)\\2x < 7/:2\\x < 3,5\\[/tex]
x∈(-∞,3,5)
e)
[tex]64\leq 4(x-5)^2\\0\leq 4(x^2-10x+25)-64\\0\leq 4x^2-40x+100-64\\0\leq 4x^2-40x+36[/tex]
Δ=[tex](-40)^2-4*4*36=1600-576=1024[/tex]
[tex]x_{1} =\frac{-b-\sqrt{delta} }{2a} \\x_{1} =\frac{-(-40)-\sqrt{1024} }{2*4} =\frac{40-32}{8} =\frac{8}{8} =1\\x_{2} =\frac{-b+\sqrt{delta} }{2a} \\x_{2} = \frac{-(-40)+\sqrt{1024} }{2*4} =\frac{40+32}{8}=\frac{72}{8}=9[/tex]
x∈(-∞,1> U <9,+∞)
f)
[tex](x-1) < 3(x-1)(x+2)/:(x-1)\\1 < 3(x+2)\\1 < 3x+6 / -6\\-5 < 3x /:3\\-\frac{5}{3} < x\\-1\frac{2}{3} < x[/tex]
x∈ ([tex]-1\frac{2}{3}[/tex],+∞)
Szczegółowe wyjaśnienie:
3.
Nierówność ax² + bx + c > 0 lub ax² + bx + c ≤ 0 lub ax² + bx + c ≥ 0 lub ax² + bx + c < 0, gdzie a ≠ 0, a, b, c ∈ R nazywamy nierównością kwadratową.
Metoda
Metodę rozwiązywania nierówności kwadratowej można zapisać w czterech krokach:
1. wszystkie wyrazy przenosimy na lewą stronę nierówności, tak aby po prawej zostało tylko 0,
2. lewą stronę nierówności traktujemy jako wzór funkcji kwadratowej,
3. wyznaczamy miejsca zerowe tej funkcji kwadratowej (o ile istnieją) i szkicujemy jej wykres,
4. odczytujemy z wykresu rozwiązanie nierówności.
Mnożąc lub dzieląc nierówność przez liczbę ujemną, zmieniamy znak nierówności.
Korzystamy też (jeżeli zachodzi taka potrzeba) ze wzorów skróconego mnożenia:
[tex](a + b)^{2} = a^{2}+2ab + b^{2}\\\\(a-b)^{2} = a^{2}-2ab + b^{2}[/tex]
[tex](3x-5)(3x-5) > 0\\\\(3x-5)^{2} > 0\\\\3x-5 > 0\\\\3x > 5 \ \ \ /:3\\\\x > \frac{5}{3}\\\\x > 1\frac{2}{3}[/tex]
a > 0, to ramiona paraboli zwrócone są do góry, zatem:
[tex]\boxed{x\in\left(1\frac{2}{3};+\infty\right)}[/tex]
[tex]\frac{1}{2}(x-1)^{2}-8 \leq 0 \ \ \ |\cdot2\\\\2\cdot\frac{1}{2}(x-1)^{2}+2\cdot(-8) \leq 0\\\\(x-1)^{2}-16 \leq 0\\\\x^{2}-2x+1-16\leq 0\\\\x^{2}-2x-15\leq 0\\\\a = 1, \ b = -2, \ c = -15\\\\\Delta = b^{2}-4ac = (-2)^{2}-4\cdot1\cdot(-15) = 4+60 = 64\\\\\sqrt{\Delta} = \sqrt{64} = 8\\\\x_1 = \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{2-8}{2\cdot1} =\frac{-6}{2} = -3\\\\x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{2+8}{2} = \frac{10}{2}=5[/tex]
[tex]a > 0\\\\\boxed{x\in\langle-3;5\rangle}[/tex]
[tex]2(x-4)^{2}+5 > 0\\\\2(x^{2}-8x+16)+5 > 0\\\\2x^{2}-16x+32+5 > 0\\\\2x^{2}-16x+37 > 0\\\\a = 2, \ b = -16, \ c = 37\\\\\Delta = b^{2}-4ac = (-16)^{2}-4\cdot2\cdot37 = 256-296 = -40\\\\\Delta < 0, \ brak \ miejsc \ zerowych\\\\\boxed{D = R}[/tex]
[tex]2x(2x-7) < 7(2x-7)\\\\2x(2x-7)-7(2x-7) < 0\\\\(2x-7)(2x-7) < 0\\\\(2x-7)^{2} < 0\\\\2x-7 < 0\\\\2x < 7 \ \ \ /:2\\\\x < 3\frac{1}{2}\\\\\boxed{x\in\left(-\infty;3\frac{1}{2}\right)}[/tex]
[tex]64\leq 4(x-5)^{2}\\\\4(x-5)^{2}\geq 64 \ \ \ /:4\\\\(x-5)^{2}\geq 16\\\\x^{2}-10x+25\geq 16\\\\x^{2}-10x+25-16\geq 0\\\\x^{2}-10x + 9\geq 0\\\\a = 1, \ b = -10, \ c = 9\\\\\Delta = b^{2}-4ac = (-10)^{2}-4\cdot1\cdot9=100-36 = 64\\\\\sqrt{\Delta} = \sqrt{64} = 8[/tex]
[tex]x_1 = \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{10-8}{2\cdot1} =\frac{2}{2} = 1\\\\x_2 =\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{10+8}{2} = \frac{18}{2} = 9\\\\a > 0\\\\\boxed{x \in (-\infty;1\rangle \ \cup \ \langle9;+\infty)}[/tex]
[tex](x-1) < 3(x-1)(x+2)\\\\3(x-1)(x+2) > x-1\\\\3(x^{2}+2x-x-2) > x-1\\\\3(x^{2}+x-2) > x-1\\\\3x^{2}+3x-6 > x-1\\\\3x^{2}+3x-x-6+1 > 0\\\\3x^{2}+2x-5 > 0\\\\a = 3, \ b = 2, \ c = -5\\\\\Delta = b^{2}-4ac = 2^{2}-4\cdot3\cdot(-5) = 4+60 = 64\\\\\sqrt{\Delta} = \sqrt{64} = 8\\\\x_1 = \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} =\frac{-2-8}{2\cdot3} = \frac{-10}{6} = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3}\\\\x_2 = \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-2+8}{6} = \frac{6}{6} = 1[/tex]
[tex]a > 0\\\\\boxed{x\in(-\infty;-1\frac{2}{3}) \ \cup \ \left(1;+\infty\right)}[/tex]
" Life is not a problem to be solved but a reality to be experienced! "
© Copyright 2013 - 2024 KUDO.TIPS - All rights reserved.
Odpowiedź
a)
[tex](3x-5)(3x-5) > 0\\(3x-5)^2 > 0\\3x-5 > 0\\3x > 5\\x > \frac{5}{3} \\x > 1\frac{2}{3} \\[/tex]
x∈ ([tex]1\frac{2}{3}[/tex],∞)
b)
[tex]\frac{1}{2} (x-1)^2-8\leq 0\\\frac{1}{2} (x^2-2*x*1+1^2)-8\leq 0\\ \frac{1}{2} x^2-x+\frac{1}{2}-8\leq 0\\ \frac{1}{2} x^2-x-7\frac{1}{2} \leq 0\\\\[/tex]
Δ[tex]=b^2-4ac[/tex]
Δ[tex]=1^2-4*\frac{1}{2} *7\frac{1}{2} =1-2*\frac{15}{2} =1-15=-14[/tex]
brak miejsc zerowych
a>0
ramiona paraboli skierowane są w górę, jest nad osią x
x∈∅
c)
[tex]2(x-4)^2+5 > 0\\2(x^2-8x+16)+5 > 0\\2x^2-16x+32+5 > 0\\2x^2-16x+37 > 0[/tex]
Δ[tex]=(-16)^2-4*2*37=256-296=-40[/tex]
brak miejsc zerowych
a>0
ramiona paraboli skierowane są w górę
x∈R
d)
[tex]2x(2x-7) < 7(2x-7)/:(2x-7)\\2x < 7/:2\\x < 3,5\\[/tex]
x∈(-∞,3,5)
e)
[tex]64\leq 4(x-5)^2\\0\leq 4(x^2-10x+25)-64\\0\leq 4x^2-40x+100-64\\0\leq 4x^2-40x+36[/tex]
Δ=[tex](-40)^2-4*4*36=1600-576=1024[/tex]
[tex]x_{1} =\frac{-b-\sqrt{delta} }{2a} \\x_{1} =\frac{-(-40)-\sqrt{1024} }{2*4} =\frac{40-32}{8} =\frac{8}{8} =1\\x_{2} =\frac{-b+\sqrt{delta} }{2a} \\x_{2} = \frac{-(-40)+\sqrt{1024} }{2*4} =\frac{40+32}{8}=\frac{72}{8}=9[/tex]
x∈(-∞,1> U <9,+∞)
f)
[tex](x-1) < 3(x-1)(x+2)/:(x-1)\\1 < 3(x+2)\\1 < 3x+6 / -6\\-5 < 3x /:3\\-\frac{5}{3} < x\\-1\frac{2}{3} < x[/tex]
x∈ ([tex]-1\frac{2}{3}[/tex],+∞)
Szczegółowe wyjaśnienie:
Verified answer
3.
Nierówności kwadratowe
Nierówność ax² + bx + c > 0 lub ax² + bx + c ≤ 0 lub ax² + bx + c ≥ 0 lub ax² + bx + c < 0, gdzie a ≠ 0, a, b, c ∈ R nazywamy nierównością kwadratową.
Metoda
Metodę rozwiązywania nierówności kwadratowej można zapisać w czterech krokach:
1. wszystkie wyrazy przenosimy na lewą stronę nierówności, tak aby po prawej zostało tylko 0,
2. lewą stronę nierówności traktujemy jako wzór funkcji kwadratowej,
3. wyznaczamy miejsca zerowe tej funkcji kwadratowej (o ile istnieją) i szkicujemy jej wykres,
4. odczytujemy z wykresu rozwiązanie nierówności.
Mnożąc lub dzieląc nierówność przez liczbę ujemną, zmieniamy znak nierówności.
Korzystamy też (jeżeli zachodzi taka potrzeba) ze wzorów skróconego mnożenia:
[tex](a + b)^{2} = a^{2}+2ab + b^{2}\\\\(a-b)^{2} = a^{2}-2ab + b^{2}[/tex]
a)
[tex](3x-5)(3x-5) > 0\\\\(3x-5)^{2} > 0\\\\3x-5 > 0\\\\3x > 5 \ \ \ /:3\\\\x > \frac{5}{3}\\\\x > 1\frac{2}{3}[/tex]
a > 0, to ramiona paraboli zwrócone są do góry, zatem:
[tex]\boxed{x\in\left(1\frac{2}{3};+\infty\right)}[/tex]
b)
[tex]\frac{1}{2}(x-1)^{2}-8 \leq 0 \ \ \ |\cdot2\\\\2\cdot\frac{1}{2}(x-1)^{2}+2\cdot(-8) \leq 0\\\\(x-1)^{2}-16 \leq 0\\\\x^{2}-2x+1-16\leq 0\\\\x^{2}-2x-15\leq 0\\\\a = 1, \ b = -2, \ c = -15\\\\\Delta = b^{2}-4ac = (-2)^{2}-4\cdot1\cdot(-15) = 4+60 = 64\\\\\sqrt{\Delta} = \sqrt{64} = 8\\\\x_1 = \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{2-8}{2\cdot1} =\frac{-6}{2} = -3\\\\x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{2+8}{2} = \frac{10}{2}=5[/tex]
[tex]a > 0\\\\\boxed{x\in\langle-3;5\rangle}[/tex]
c)
[tex]2(x-4)^{2}+5 > 0\\\\2(x^{2}-8x+16)+5 > 0\\\\2x^{2}-16x+32+5 > 0\\\\2x^{2}-16x+37 > 0\\\\a = 2, \ b = -16, \ c = 37\\\\\Delta = b^{2}-4ac = (-16)^{2}-4\cdot2\cdot37 = 256-296 = -40\\\\\Delta < 0, \ brak \ miejsc \ zerowych\\\\\boxed{D = R}[/tex]
d)
[tex]2x(2x-7) < 7(2x-7)\\\\2x(2x-7)-7(2x-7) < 0\\\\(2x-7)(2x-7) < 0\\\\(2x-7)^{2} < 0\\\\2x-7 < 0\\\\2x < 7 \ \ \ /:2\\\\x < 3\frac{1}{2}\\\\\boxed{x\in\left(-\infty;3\frac{1}{2}\right)}[/tex]
e)
[tex]64\leq 4(x-5)^{2}\\\\4(x-5)^{2}\geq 64 \ \ \ /:4\\\\(x-5)^{2}\geq 16\\\\x^{2}-10x+25\geq 16\\\\x^{2}-10x+25-16\geq 0\\\\x^{2}-10x + 9\geq 0\\\\a = 1, \ b = -10, \ c = 9\\\\\Delta = b^{2}-4ac = (-10)^{2}-4\cdot1\cdot9=100-36 = 64\\\\\sqrt{\Delta} = \sqrt{64} = 8[/tex]
[tex]x_1 = \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{10-8}{2\cdot1} =\frac{2}{2} = 1\\\\x_2 =\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{10+8}{2} = \frac{18}{2} = 9\\\\a > 0\\\\\boxed{x \in (-\infty;1\rangle \ \cup \ \langle9;+\infty)}[/tex]
f)
[tex](x-1) < 3(x-1)(x+2)\\\\3(x-1)(x+2) > x-1\\\\3(x^{2}+2x-x-2) > x-1\\\\3(x^{2}+x-2) > x-1\\\\3x^{2}+3x-6 > x-1\\\\3x^{2}+3x-x-6+1 > 0\\\\3x^{2}+2x-5 > 0\\\\a = 3, \ b = 2, \ c = -5\\\\\Delta = b^{2}-4ac = 2^{2}-4\cdot3\cdot(-5) = 4+60 = 64\\\\\sqrt{\Delta} = \sqrt{64} = 8\\\\x_1 = \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} =\frac{-2-8}{2\cdot3} = \frac{-10}{6} = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3}\\\\x_2 = \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-2+8}{6} = \frac{6}{6} = 1[/tex]
[tex]a > 0\\\\\boxed{x\in(-\infty;-1\frac{2}{3}) \ \cup \ \left(1;+\infty\right)}[/tex]