[tex]\large\text{$\bold{x_1=\frac{-b-\sqrt\Delta}{2a}}$}[/tex] , [tex]\large\text{$\bold{x_2=\frac{-b+\sqrt\Delta}{2a}}$}[/tex] to miejsca zerowe funkcji
[tex]\large\text{$\bold{\Delta=b^2-4ac}$}[/tex] to wyróżnik jej trójmianu kwadratowego
Podany punkt należy do wykresu tej funkcji, więc jego współrzędne spełniają jej równanie {po podstawieniu otrzymujemy tożsamość}, czyli dla x=1 mamy f(x)=-12:
7. y = -2(x - 4)(x - ¹/₂)
8. f(x) = 2x² - 2x - 12
Funkcja kwadratowa
w postaci ogólnej:
[tex]\Large\text{$\bold{f(x)=ax^2+bx+c}$}[/tex]
w postaci iloczynowej:
[tex]\Large\text{$\bold{f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)}$}[/tex]
gdzie:
Zad. 7.
Mamy daną funkcję: [tex]\large\text{$\bold{y=-2x^2+9x-4}$}[/tex]
Czyli: [tex]\bold{a=-2,\ b=9,\ c=-4}[/tex]
Wyróżnik: [tex]\text{$\bold{\Delta=9^2-4\cdot(-2)\cdot(-4)=81-32=49}$}[/tex]
Miejsca zerowe:
[tex]\large\text{$\bold{x_1=\frac{-9-\sqrt{49}}{2\cdot(-2)}=\frac{-9-7}{-4}=\frac{-16}{-4}=4}$}\\\\\large\text{$\bold{x_2=\frac{-9+\sqrt{49}}{2\cdot(-2)}=\frac{-9+7}{-4}=\frac{-2}{-4}=\frac12}$}[/tex]
Postać iloczynowa funkcji:
[tex]\Large\text{$\bold{y=-2\big(x-4\big)\big(x-\frac12\big)}$}[/tex]
Zad. 8.
Mamy podane miejsca zerowe funkcji, więc możemy ją zapisać w postaci iloczynowej {chwilowo niedokładnej, bo nie znamy a}:
[tex]\large\text{$\bold{f(x)=a\big(x-(-2)\big)\big(x-3\big)}$}\\\\ \large\text{$\bold{f(x)=a\big(x+2\big)\big(x-3\big)}$}[/tex]
Podany punkt należy do wykresu tej funkcji, więc jego współrzędne spełniają jej równanie {po podstawieniu otrzymujemy tożsamość}, czyli dla x=1 mamy f(x)=-12:
Korzystamy z tego, by obliczyć współczynnik a:
[tex]\text{$\bold{-12=a\big(1+2\big)\big(1-3\big)}$}\\\\ \text{$\bold{-12=a\cdot3\cdot(-2)}$}\\\\ \text{$\bold{-12=-6a\qquad\big/:(-6)}$}\\\\ {}\quad\ \large\text{$\bold{a=2}$}[/tex]
Zatem, równanie funkcji w postaci iloczynowej to:
[tex]\large\text{$\bold{f(x)=2\big(x+2\big)\big(x-3\big)}$}[/tex]
Aby otrzymać postać ogólną wystarczy wykonać działania:
[tex]\text{$\bold{f(x)=2\big(x+2\big)\big(x-3\big)}$}\\\\ \text{$\bold{f(x)=2\big(x^2-3x+2x-6\big)}$} \\\\ \text{$\bold{f(x)=2\big(x^2-x-6\big)}$}\\\\\\ \Large\text{$\bold{f(x)=2x^2-2x-12}$}[/tex]