Odpowiedź:
Proszę o informację, gdyby pojawiły się błędy rachunkowe.
Szczegółowe wyjaśnienie:
Będziemy korzystać z jedynki trygonometrycznej:
[tex]sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1[/tex]
a) Skoro [tex]sin\alpha - cos\alpha = \frac{3}{5}[/tex], więc po podniesieniu obu stron do potęgi drugiej mamy
[tex](sin\alpha - cos\alpha )^2 = (\frac{3}{5})^2 = \frac{9}{25}[/tex]
Rozpisując wyrażenie po lewej stronie ze wzoru skróconego mnożenia
[tex](a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2[/tex], dostajemy
[tex](sin\alpha -cos\alpha )^2 = sin^2\alpha - 2sin\alpha\cdot cos\alpha + cos^2\alpha \\\\= 1 - 2sin\alpha\cdot cos\alpha[/tex](użyliśmy jedynki trygonometrycznej)
A zatem dostajemy równości
[tex]1 - 2sin\alpha \cdot cos\alpha = \frac{9}{25} \\\\- 2sin\alpha \cdot cos\alpha = - \frac{16}{25} \\\\\\sin\alpha \cdot cos\alpha = \frac{8}{25}[/tex]
b) Z jedynki trygonometrycznej wynika, że
[tex]cos^2\alpha = 1 - sin^2\alpha[/tex]
tym samym
[tex]sin^2\alpha +cos^4\alpha = sin^2\alpha + cos^2\alpha \cdot cos^2\alpha\\= sin^2\alpha + (1-sin^2\alpha )cos^2\alpha = \\sin^2\alpha + cos^2\alpha -sin^2\alpha \cdot cos^2\alpha\\= 1 - (sin\alpha \cdot cos\alpha)^2[/tex]
Korzystając z podpunktu (a), po podstawieniu [tex]sin\alpha \cdot cos\alpha =\frac{8}{25}[/tex] mamy
[tex]sin^2\alpha + cos^4\alpha = 1 - (\frac{8}{25})^2 = 1 -\frac{64}{625} = \frac{561}{625}[/tex]
c) Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia
[tex]a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)[/tex]
Wówczas po użyciu jedynki trygonometrycznej oraz po podstawieniu liczb z treści zadania i podpunktu a), dostajemy
[tex]sin^3\alpha - cos^3\alpha =(sin\alpha - cos\alpha)(sin^2\alpha + sin\alpha \cdot cos\alpha + cos^2\alpha) = \frac{3}{5} \cdot (1 + \frac{8}{25}) = \frac{3}{5} \cdot \frac{33}{25} = \frac{99}{125}[/tex]
d) Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia
[tex](a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2[/tex] ,a z niego wynika, że
[tex](a^2 + b^2)^2 = a^4 + 2a^2b^2 + b^4[/tex]
Zatem
[tex]a^4 + b^4 = (a^2 + b^2)^2 - 2a^2b^2[/tex]
Korzystając teraz z jedynki trygonometrycznej i z wyniku z podpunktu (a), mamy
[tex]sin^4\alpha + cos^4\alpha = (sin^2\alpha + cos^2\alpha)^2 - 2 \cdot (sin\alpha \cdot cos\alpha)^2 = 1^2 - 2\cdot (\frac{8}{25})^2 \\= 1 - 2 \cdot \frac{64}{625} = 1 - \frac{128}{625} = \frac{497}{625}[/tex]
" Life is not a problem to be solved but a reality to be experienced! "
© Copyright 2013 - 2024 KUDO.TIPS - All rights reserved.
Verified answer
Odpowiedź:
Proszę o informację, gdyby pojawiły się błędy rachunkowe.
Szczegółowe wyjaśnienie:
Będziemy korzystać z jedynki trygonometrycznej:
[tex]sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1[/tex]
a) Skoro [tex]sin\alpha - cos\alpha = \frac{3}{5}[/tex], więc po podniesieniu obu stron do potęgi drugiej mamy
[tex](sin\alpha - cos\alpha )^2 = (\frac{3}{5})^2 = \frac{9}{25}[/tex]
Rozpisując wyrażenie po lewej stronie ze wzoru skróconego mnożenia
[tex](a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2[/tex], dostajemy
[tex](sin\alpha -cos\alpha )^2 = sin^2\alpha - 2sin\alpha\cdot cos\alpha + cos^2\alpha \\\\= 1 - 2sin\alpha\cdot cos\alpha[/tex](użyliśmy jedynki trygonometrycznej)
A zatem dostajemy równości
[tex]1 - 2sin\alpha \cdot cos\alpha = \frac{9}{25} \\\\- 2sin\alpha \cdot cos\alpha = - \frac{16}{25} \\\\\\sin\alpha \cdot cos\alpha = \frac{8}{25}[/tex]
b) Z jedynki trygonometrycznej wynika, że
[tex]cos^2\alpha = 1 - sin^2\alpha[/tex]
tym samym
[tex]sin^2\alpha +cos^4\alpha = sin^2\alpha + cos^2\alpha \cdot cos^2\alpha\\= sin^2\alpha + (1-sin^2\alpha )cos^2\alpha = \\sin^2\alpha + cos^2\alpha -sin^2\alpha \cdot cos^2\alpha\\= 1 - (sin\alpha \cdot cos\alpha)^2[/tex]
Korzystając z podpunktu (a), po podstawieniu [tex]sin\alpha \cdot cos\alpha =\frac{8}{25}[/tex] mamy
[tex]sin^2\alpha + cos^4\alpha = 1 - (\frac{8}{25})^2 = 1 -\frac{64}{625} = \frac{561}{625}[/tex]
c) Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia
[tex]a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)[/tex]
Wówczas po użyciu jedynki trygonometrycznej oraz po podstawieniu liczb z treści zadania i podpunktu a), dostajemy
[tex]sin^3\alpha - cos^3\alpha =(sin\alpha - cos\alpha)(sin^2\alpha + sin\alpha \cdot cos\alpha + cos^2\alpha) = \frac{3}{5} \cdot (1 + \frac{8}{25}) = \frac{3}{5} \cdot \frac{33}{25} = \frac{99}{125}[/tex]
d) Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia
[tex](a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2[/tex] ,a z niego wynika, że
[tex](a^2 + b^2)^2 = a^4 + 2a^2b^2 + b^4[/tex]
Zatem
[tex]a^4 + b^4 = (a^2 + b^2)^2 - 2a^2b^2[/tex]
Korzystając teraz z jedynki trygonometrycznej i z wyniku z podpunktu (a), mamy
[tex]sin^4\alpha + cos^4\alpha = (sin^2\alpha + cos^2\alpha)^2 - 2 \cdot (sin\alpha \cdot cos\alpha)^2 = 1^2 - 2\cdot (\frac{8}{25})^2 \\= 1 - 2 \cdot \frac{64}{625} = 1 - \frac{128}{625} = \frac{497}{625}[/tex]