Question

Proszę o zrobienie tych zsdań
Dam naj :))))))))))))))) zad.6.29

Answer 1

Verified answer

Odpowiedź: a) [tex]\frac{\sqrt{6} }{2}[/tex]      b) [tex]\sqrt{3} \ \textrm{lub} -\sqrt{3}[/tex]       c) [tex]\frac{3\sqrt{6} }{8}[/tex]        d)[tex]\frac{13}{16}[/tex]

Szczegółowe wyjaśnienie:

Będziemy korzystać z jedynki trygonometrycznej:

[tex]sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1.[/tex]

a) Tutaj użyjemy wzoru skróconego mnożenia:

[tex](a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.[/tex]

Po podstawieniu [tex]a = sin\alpha , \ b=cos\alpha,[/tex] mamy

[tex](sin\alpha +cos\alpha )^2 = sin^2\alpha + 2sin\alpha \cdot cos\alpha + cos^2\alpha.[/tex]

Korzystając z jedynki trygonometrycznej oraz ze znanej wartości z treści zadania, otrzymujemy

[tex](sin\alpha +cos\alpha )^2 = 1 + 2 \cdot \frac{1}{4} = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} = \frac{6}{4}.[/tex]

Otrzymujemy więc równość

[tex](sin\alpha +cos\alpha )^2 = \frac{6}{4}.[/tex]

Po obustronnym pierwiastkowaniu, dostajemy

[tex]sin\alpha + cos\alpha = \frac{\sqrt{6} }{2} \ \textrm{lub} \ sin\alpha + cos\alpha = - \frac{\sqrt{6} }{2}.[/tex]

Ponieważ [tex]\alpha[/tex] jest kątem ostrym, więc [tex]sin\alpha > 0 \ \textrm{oraz} \ cos\alpha > 0.[/tex] Zatem wybieramy rozwiązanie dodatnie, tzn. [tex]sin\alpha + cos\alpha = \frac{\sqrt{6} }{2}.[/tex]

b) Najpierw wyznaczymy wartość wyrażenia [tex]sin\alpha - cos\alpha .[/tex] Będziemy korzystać ze wzoru skróconego mnożenia:

[tex](a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2.[/tex]

Po podstawieniu [tex]a = sin\alpha , \ b=cos\alpha,[/tex] mamy

[tex](sin\alpha -cos\alpha )^2 = sin^2\alpha - 2sin\alpha \cdot cos\alpha + cos^2\alpha.[/tex]

Korzystając z jedynki trygonometrycznej oraz ze znanej wartości z treści zadania, otrzymujemy

[tex](sin\alpha - cos\alpha )^2 = 1 - 2 \cdot \frac{1}{4} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} = \frac{2}{4}.[/tex]

Otrzymujemy więc równość

[tex](sin\alpha - cos\alpha )^2 = \frac{2}{4}.[/tex]

Po obustronnym pierwiastkowaniu, dostajemy

[tex]sin\alpha - cos\alpha= \frac{\sqrt{2}}{2} \ \textrm{lub} \ sin\alpha - cos\alpha= - \frac{\sqrt{2}}{2}.[/tex]

Tutaj nie jesteśmy w stanie określić znaku tego wyrażenia; jeśli α<45°, to [tex]sin\alpha - cos\alpha < 0;[/tex] jeśli zaś α>45°, to [tex]sin\alpha - cos\alpha > 0.[/tex]

Po podstawieniu powyższych liczb oraz wyniku z podpunktu (a), mamy

[tex]\frac{sin\alpha + cos\alpha }{sin\alpha - cos\alpha} = \frac{\frac{\sqrt{6}}{2} }{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2} } \cdot {\frac{2}{\sqrt{2}}} = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}} =\sqrt{3} \ \textrm{lub} \ \frac{sin\alpha + cos\alpha }{sin\alpha - cos\alpha} = \frac{\frac{\sqrt{6}}{2} }{-\frac{\sqrt{2}}{2}} = -\sqrt{3} .[/tex]

c) Skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia:

[tex]a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2).[/tex]

Po podstawieniu [tex]a = sin\alpha , \ b=cos\alpha,[/tex] mamy

[tex]sin^3\alpha + cos^3\alpha = (sin\alpha + cos\alpha)(sin^2\alpha - sin\alpha \cdot cos\alpha + cos^2\alpha).[/tex]

Korzystając z jedynki trygonometrycznej oraz wyniku z podpunktu (a), mamy

[tex]sin^3\alpha + cos^3\alpha =\frac{\sqrt{6}}{2} \cdot (1 - \frac{1}{4}) = \frac{\sqrt{6}}{2} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3\sqrt{6}}{8}.[/tex]

d) Zauważmy, że ze wzoru skróconego mnożenia z podpunktu (a), wynika że

[tex](a^3+b^3)^2 = (a^3)^2 + 2a^3b^3 + (b^3)^2 = a^6 + 2a^3b^3 + b^6 = a^6 + 2\cdot(ab)^3 + b^6[/tex]

Po przeniesieniu odpowiedniego wyrażenia na lewą stronę, dostajemy

[tex](a^3+b^3)^2 - 2\cdot(ab)^3 = a^6 + b^6.[/tex]

Po podstawieniu [tex]a = sin\alpha , \ b=cos\alpha,[/tex] a następnie korzystając z wyniku z podpunktu (c) oraz z treści zadania, mamy

[tex]sin^6\alpha + cos^6\alpha = (sin^3\alpha +cos^3\alpha )^2 - 2\cdot(sin\alpha \cdot cos\alpha )^3 = (\frac{3\sqrt{6} }{8})^2 - 2 \cdot (\frac{1}{4})^3 = \frac{9 \cdot 6}{64} - \frac{2}{64} = \frac{54}{64} -\frac{2}{64} = \frac{52}{64} = \frac{13}{16}.[/tex]