Określmy teraz zbiór wartości funkcji. Nasza funkcja ma ramiona skierowane w dół, ponieważ a < 0, dlatego też zbiór wartości funkcji to przedział (-∞, q>, czyli w naszym przypadku (-∞, 4>
Zapiszmy funkcję w postaci kanonicznej:
[tex]f(x)=-\frac12(x-2)^2+4[/tex]
Jak wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji?
Funkcja jest monotoniczna jeżeli jest ona rosnąca, stała lub malejąca.
Aby narysować tę funkcję wyznaczymy współrzędne wierzchołka paraboli oraz miejsca zerowe:
Zaznaczmy miejsca zerowe i wierzchołek paraboli w układzie współrzędnych i narysujmy wykres.
Spójrzmy na narysowany wykres funkcji w załączniku. Możemy odczytać, że funkcja jest rosnąca w przedziale x ∈ (-∞, 3>, a malejąca w przedziale x ∈ <3, +∞).
Jak rozwiązywać nierówności kwadratowe?
Na początku musimy wyznaczyć miejsca zerowe funkcji i zaznaczyć je na osi. Tutaj zwracajmy uwagę na znak nierówności, bo jeśli znak nierówności to < lub > to zaznaczamy miejsca zerowe na osi niezamalowanym kółkiem (co znaczy, że te punkty nie należą do zbioru rozwiązań). Jeżeli znak to ≤ lub ≥ to zaznaczamy miejsca zerowe zamalowanym kółkiem (co znaczy, że te punkty należą do zbioru rozwiązań). W naszym przypadku będą zamalowane ponieważ znak nierówności to ≥.
Znajdźmy miejsca zerowe tej funkcji przyrównując każdy nawias do 0:
x + 3 = 0
x = -3
x - 4 = 0
x = 4
Miejsca zerowe tej funkcji to x = -3 oraz x = 4. Zaznaczmy je na osi zamalowanym kółkiem.
Teraz należy określić, czy dana funkcja ma ramiona skierowane do góry, czy do dołu. Aby to określić musimy zbadać znak przy x² i jeżeli jest on dodatni, to funkcja będzie miała ramiona skierowane do góry, jeżeli będzie on ujemny to funkcja będzie miała ramiona skierowane do dołu. Jeżeli przemnożymy dwa nawiasy to zobaczymy, że znak przy x² będzie dodatni, a więc nasza funkcja będzie miała skierowane ramiona do góry.
Zostało nam odczytanie wartości dla których ta funkcja przyjmuje wartości nieujemne (zakreskowane na wykresie czerwonymi liniami). Funkcja przyjmuje wartości nieujemne (ponieważ znak nierówności to ≥ ) dla:
Zadanie 6
Współrzędne wierzchołka paraboli:
W (2, 4)
Zbiór wartości funkcji:
(-∞, 4>
Funkcja zapisana w postaci kanonicznej:
[tex]f(x)=-\frac12(x-2)^2+4[/tex]
Zadanie 7
Funkcja jest rosnąca w przedziale x ∈ (-∞, 3>
Funkcja jest malejąca w przedziale x ∈ <3, +∞)
Wykres funkcji w załączniku.
Zadanie 8
x ∈ (-∞, -3> ∪ <4, +∞)
Jak wyznaczyć współrzędne wierzchołka paraboli?
Współrzędne wierzchołka paraboli, czyli "p" oraz "q", gdzie "p" to współrzędna x - owa, a "q" to współrzędna y - owa obliczamy ze wzorów:
[tex]p = \frac{-b}{2a}[/tex]
gdzie:
b - wartość stojąca przy "x",
a - wartość stojąca przy "x²".
[tex]q=\frac{-\Delta}{4a}[/tex]
gdzie:
[tex]\Delta-[/tex] delta obliczona ze wzoru b² - 4ac,
a - wartość stojąca przy "x²".
Współrzędną "q" możemy również obliczyć podstawiając w miejsce "x" wartość "p" we wzorze funkcji:
q = f(p)
Zbiór wartości funkcji określamy na podstawie wierzchołka paraboli, gdzie:
Postać kanoniczna funkcji:
f(x) = a (x - p)² + q
Obliczmy współrzędne wierzchołka paraboli:
[tex]p=\frac{-2}{2*(-\frac12)}=\frac{-2}{-1}=2\\\\q=f_{(2)}=-\frac12*2^2+2*2+2=-\frac12*4+4+2=-2+4+2=4[/tex]
Wierzchołek paraboli ma współrzędne (2, 4)
Określmy teraz zbiór wartości funkcji. Nasza funkcja ma ramiona skierowane w dół, ponieważ a < 0, dlatego też zbiór wartości funkcji to przedział (-∞, q>, czyli w naszym przypadku (-∞, 4>
Zapiszmy funkcję w postaci kanonicznej:
[tex]f(x)=-\frac12(x-2)^2+4[/tex]
Jak wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji?
Funkcja jest monotoniczna jeżeli jest ona rosnąca, stała lub malejąca.
Aby narysować tę funkcję wyznaczymy współrzędne wierzchołka paraboli oraz miejsca zerowe:
Współrzędne wierzchołka W(p, q):
[tex]p=\frac{-b}{2a}= \frac{-6}{-2}=3[/tex]
[tex]q=f(p)=f(3)=-(3)^2+6*3-3=-9+18-3=6[/tex]
Współrzędne wierzchołka paraboli to (3, 6).
Wyznaczmy miejsca zerowe:
[tex]\Delta=b^2-4ac\\\Delta=6^2-4*(-1)*(-3)=36-12=24\\\sqrt{\Delta}=\sqrt{24} =\sqrt{4*6}=2\sqrt{6}\\ \\ x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta} }{2a}=\frac{-6+2\sqrt{6} }{-2} =3-\sqrt{6} \\x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta} }{2a}=\frac{-6-2\sqrt{6} }{-2} =3+\sqrt{6}[/tex]
Zaznaczmy miejsca zerowe i wierzchołek paraboli w układzie współrzędnych i narysujmy wykres.
Spójrzmy na narysowany wykres funkcji w załączniku. Możemy odczytać, że funkcja jest rosnąca w przedziale x ∈ (-∞, 3>, a malejąca w przedziale x ∈ <3, +∞).
Jak rozwiązywać nierówności kwadratowe?
Na początku musimy wyznaczyć miejsca zerowe funkcji i zaznaczyć je na osi. Tutaj zwracajmy uwagę na znak nierówności, bo jeśli znak nierówności to < lub > to zaznaczamy miejsca zerowe na osi niezamalowanym kółkiem (co znaczy, że te punkty nie należą do zbioru rozwiązań). Jeżeli znak to ≤ lub ≥ to zaznaczamy miejsca zerowe zamalowanym kółkiem (co znaczy, że te punkty należą do zbioru rozwiązań). W naszym przypadku będą zamalowane ponieważ znak nierówności to ≥.
Znajdźmy miejsca zerowe tej funkcji przyrównując każdy nawias do 0:
x + 3 = 0
x = -3
x - 4 = 0
x = 4
Miejsca zerowe tej funkcji to x = -3 oraz x = 4. Zaznaczmy je na osi zamalowanym kółkiem.
Teraz należy określić, czy dana funkcja ma ramiona skierowane do góry, czy do dołu. Aby to określić musimy zbadać znak przy x² i jeżeli jest on dodatni, to funkcja będzie miała ramiona skierowane do góry, jeżeli będzie on ujemny to funkcja będzie miała ramiona skierowane do dołu. Jeżeli przemnożymy dwa nawiasy to zobaczymy, że znak przy x² będzie dodatni, a więc nasza funkcja będzie miała skierowane ramiona do góry.
Zostało nam odczytanie wartości dla których ta funkcja przyjmuje wartości nieujemne (zakreskowane na wykresie czerwonymi liniami). Funkcja przyjmuje wartości nieujemne (ponieważ znak nierówności to ≥ ) dla:
x ∈ (-∞, -3> ∪ <4, +∞)
#SPJ1