Zad. 1.
Promień podstawy stożka jest równy √3 (odpowiedź C).
Zad. 2.
Pole powierzchni kuli jest równe 12∛3π (odpowiedź C).
Zad. 3.
Promień tej kuli wynosi 6.
Bryła obrotowa to bryła powstała w wyniki obrotu figury płaskiej wokół prostej nazywanej osią. Bryły obrotowe to:
Wzór na objętość walca:
[tex]V=P_p\cdot h = \pi r^2 h[/tex]
Wzór na objętość stożka:
[tex]V=\frac{1}{3}P_p\cdot h = \frac{\pi r^2 h}{3}[/tex]
Wzór na pole i objętość kuli:
[tex]P=4\pi r^2\\\\V=\frac{4}{3}\pi r^3[/tex]
W tym zadaniu wykorzystamy również wzór na wysokość trójkąta równobocznego:
[tex]h=\frac{a\sqrt{3}}{2}[/tex]
Szczegółowe rozwiązanie
Ze wzoru na wysokość trójkąta równobocznego obliczamy podstawę trójkąta:
[tex]h_\triangle=\frac{a\sqrt{3}}{2}\\\\3=\frac{a\sqrt{3}}{2}\\\\6=a\sqrt{3}\\\\a=\frac{6}{\sqrt{3}}=\frac{6\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}[/tex]
Promień podstawy stożka to połowa długości podstawy trójkąta:
[tex]r=\frac{1}{2}a=\frac{1}{2}\cdot2\sqrt{3}=\sqrt{3}[/tex]
Wniosek: Promień podstawy stożka jest równy √3 (odpowiedź C).
Ze wzoru na objętość kuli obliczamy jej promień:
[tex]V=\frac{4}{3}\pi r^3\\\\12\pi=\frac{4}{3}\pi r^3\\\\12=\frac{4}{3}r^3\\\\r^3=12\cdot\frac{3}{4}\\\\r^3=9\\\\r=\sqrt[3]{9}[/tex]
Znając promień obliczamy pole powierzchni:
[tex]P=4\pi r^2\\\\P=4\pi \cdot (\sqrt[3]{9})^2\\\\P=4\pi \cdot \sqrt[3]{81}\\\\P=4\pi \cdot 3\sqrt[3]{3}\\\\P=12\sqrt[3]{3}\pi[/tex]
Wniosek: Pole powierzchni kuli jest równe 12∛3π (odpowiedź C).
Obliczamy objętość stożka:
[tex]V=\frac{\pi r^2h}{3}\\\\V=\frac{\pi \cdot 4^2 \cdot \not3}{\not3}\\\\V=16\pi[/tex]
Obliczamy objętość walca:
[tex]V=\pi r^2 h\\\\V=\pi 4^2 \cdot 17\\\\V=272\pi[/tex]
Objętość kuli otrzymanej z przetopionych brył to suma objętości stożka i walca:
[tex]V=16\pi+272\pi=288\pi[/tex]
Obliczamy promień kuli:
[tex]V=\frac{4}{3}\pi r^3\\\\288\pi=\frac{4}{3}\pi r^3\\\\r^3=288\cdot \frac{3}{4}\\\\r^3=216\\\\r=6[/tex]
Wniosek: Promień tej kuli wynosi 6.
#SPJ1
" Life is not a problem to be solved but a reality to be experienced! "
© Copyright 2013 - 2024 KUDO.TIPS - All rights reserved.
Zad. 1.
Promień podstawy stożka jest równy √3 (odpowiedź C).
Zad. 2.
Pole powierzchni kuli jest równe 12∛3π (odpowiedź C).
Zad. 3.
Promień tej kuli wynosi 6.
Bryły obrotowe
Bryła obrotowa to bryła powstała w wyniki obrotu figury płaskiej wokół prostej nazywanej osią. Bryły obrotowe to:
Wzór na objętość walca:
[tex]V=P_p\cdot h = \pi r^2 h[/tex]
Wzór na objętość stożka:
[tex]V=\frac{1}{3}P_p\cdot h = \frac{\pi r^2 h}{3}[/tex]
Wzór na pole i objętość kuli:
[tex]P=4\pi r^2\\\\V=\frac{4}{3}\pi r^3[/tex]
W tym zadaniu wykorzystamy również wzór na wysokość trójkąta równobocznego:
[tex]h=\frac{a\sqrt{3}}{2}[/tex]
Szczegółowe rozwiązanie
Zad. 1.
Ze wzoru na wysokość trójkąta równobocznego obliczamy podstawę trójkąta:
[tex]h_\triangle=\frac{a\sqrt{3}}{2}\\\\3=\frac{a\sqrt{3}}{2}\\\\6=a\sqrt{3}\\\\a=\frac{6}{\sqrt{3}}=\frac{6\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}[/tex]
Promień podstawy stożka to połowa długości podstawy trójkąta:
[tex]r=\frac{1}{2}a=\frac{1}{2}\cdot2\sqrt{3}=\sqrt{3}[/tex]
Wniosek: Promień podstawy stożka jest równy √3 (odpowiedź C).
Zad. 2.
Ze wzoru na objętość kuli obliczamy jej promień:
[tex]V=\frac{4}{3}\pi r^3\\\\12\pi=\frac{4}{3}\pi r^3\\\\12=\frac{4}{3}r^3\\\\r^3=12\cdot\frac{3}{4}\\\\r^3=9\\\\r=\sqrt[3]{9}[/tex]
Znając promień obliczamy pole powierzchni:
[tex]P=4\pi r^2\\\\P=4\pi \cdot (\sqrt[3]{9})^2\\\\P=4\pi \cdot \sqrt[3]{81}\\\\P=4\pi \cdot 3\sqrt[3]{3}\\\\P=12\sqrt[3]{3}\pi[/tex]
Wniosek: Pole powierzchni kuli jest równe 12∛3π (odpowiedź C).
Zad. 3.
Obliczamy objętość stożka:
[tex]V=\frac{\pi r^2h}{3}\\\\V=\frac{\pi \cdot 4^2 \cdot \not3}{\not3}\\\\V=16\pi[/tex]
Obliczamy objętość walca:
[tex]V=\pi r^2 h\\\\V=\pi 4^2 \cdot 17\\\\V=272\pi[/tex]
Objętość kuli otrzymanej z przetopionych brył to suma objętości stożka i walca:
[tex]V=16\pi+272\pi=288\pi[/tex]
Obliczamy promień kuli:
[tex]V=\frac{4}{3}\pi r^3\\\\288\pi=\frac{4}{3}\pi r^3\\\\r^3=288\cdot \frac{3}{4}\\\\r^3=216\\\\r=6[/tex]
Wniosek: Promień tej kuli wynosi 6.
#SPJ1