Zad. 1.
Promień podstawy tego stożka wynosi √3 (odpowiedź C).
Zad. 2.
Pole powierzchni tej kuli wynosi 12∛3π (odpowiedź C).
Zad. 3.
Promień tej kuli jest równy 6.
Bryła obrotowa to taka bryła przestrzenna, która powstała poprzez obrót figury płaskiej (prostokąta, trójkąta, koła) wokół linii nazywanej osią.
Bryły obrotowe, którymi zajmujemy się w tym zadaniu to:
Wzór na objętość walca wygląda następująco:
[tex]V=P_p\cdot h = \pi r^2 h[/tex]
Wzór na objętość stożka wygląda następująco:
[tex]V=\frac{1}{3}P_p\cdot h = \frac{\pi r^2 h}{3}[/tex]
Wzory na pole i objętość kuli wyglądają następująco:
[tex]P=4\pi r^2\\\\V=\frac{4}{3}\pi r^3[/tex]
W tym zadaniu potrzebny będzie nam także wzór na wysokość trójkąta równobocznego:
[tex]h=\frac{a\sqrt{3}}{2}[/tex]
Spójrzmy na szczegółowe rozwiązanie:
Obliczamy długość podstawy trójkąta równobocznego ze wzoru na wysokość takiego trójkąta:
[tex]h_\triangle=\frac{a\sqrt{3}}{2}\\\\3=\frac{a\sqrt{3}}{2}\\\\6=a\sqrt{3}\\\\a=\frac{6}{\sqrt{3}}=\frac{6\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}[/tex]
Obliczamy promień podstawy wiedząc, że jest on równy połowie długości podstawy trójkąta:
[tex]r=\frac{1}{2}a=\frac{1}{2}\cdot2\sqrt{3}=\sqrt{3}[/tex]
Wniosek: Promień podstawy stożka jest równy √3 (odpowiedź C).
Korzystając ze wzoru na objętość kuli, obliczamy jej promień:
[tex]V=\frac{4}{3}\pi r^3\\\\12\pi=\frac{4}{3}\pi r^3\\\\12=\frac{4}{3}r^3\\\\r^3=12\cdot\frac{3}{4}\\\\r^3=9\\\\r=\sqrt[3]{9}[/tex]
Obliczamy pole powierzchni kuli, korzystając ze wzoru i podstawiając wartość obliczonego promienia:
[tex]P=4\pi r^2\\\\P=4\pi \cdot (\sqrt[3]{9})^2\\\\P=4\pi \cdot \sqrt[3]{81}\\\\P=4\pi \cdot 3\sqrt[3]{3}\\\\P=12\sqrt[3]{3}\pi[/tex]
Wniosek: Pole powierzchni kuli wynosi 12∛3π (odpowiedź C).
Korzystając ze wzoru obliczamy objętość stożka:
[tex]V=\frac{\pi r^2h}{3}\\\\V=\frac{\pi \cdot 4^2 \cdot \not3}{\not3}\\\\V=16\pi[/tex]
Następnie liczymy objętość walca:
[tex]V=\pi r^2 h\\\\V=\pi 4^2 \cdot 17\\\\V=272\pi[/tex]
Objętość kuli otrzymanej z przetopionych brył to suma objętości stożka i walca:
[tex]V=16\pi+272\pi=288\pi[/tex]
Znając objętość kuli i wzór na tę objętość, obliczamy promień kuli:
[tex]V=\frac{4}{3}\pi r^3\\\\288\pi=\frac{4}{3}\pi r^3\\\\r^3=288\cdot \frac{3}{4}\\\\r^3=216\\\\r=6[/tex]
Wniosek: Promień tej kuli równa się 6.
#SPJ1
" Life is not a problem to be solved but a reality to be experienced! "
© Copyright 2013 - 2024 KUDO.TIPS - All rights reserved.
Zad. 1.
Promień podstawy tego stożka wynosi √3 (odpowiedź C).
Zad. 2.
Pole powierzchni tej kuli wynosi 12∛3π (odpowiedź C).
Zad. 3.
Promień tej kuli jest równy 6.
Bryły obrotowe - własności
Bryła obrotowa to taka bryła przestrzenna, która powstała poprzez obrót figury płaskiej (prostokąta, trójkąta, koła) wokół linii nazywanej osią.
Bryły obrotowe, którymi zajmujemy się w tym zadaniu to:
Wzór na objętość walca wygląda następująco:
[tex]V=P_p\cdot h = \pi r^2 h[/tex]
Wzór na objętość stożka wygląda następująco:
[tex]V=\frac{1}{3}P_p\cdot h = \frac{\pi r^2 h}{3}[/tex]
Wzory na pole i objętość kuli wyglądają następująco:
[tex]P=4\pi r^2\\\\V=\frac{4}{3}\pi r^3[/tex]
W tym zadaniu potrzebny będzie nam także wzór na wysokość trójkąta równobocznego:
[tex]h=\frac{a\sqrt{3}}{2}[/tex]
Spójrzmy na szczegółowe rozwiązanie:
Zad. 1.
Obliczamy długość podstawy trójkąta równobocznego ze wzoru na wysokość takiego trójkąta:
[tex]h_\triangle=\frac{a\sqrt{3}}{2}\\\\3=\frac{a\sqrt{3}}{2}\\\\6=a\sqrt{3}\\\\a=\frac{6}{\sqrt{3}}=\frac{6\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}[/tex]
Obliczamy promień podstawy wiedząc, że jest on równy połowie długości podstawy trójkąta:
[tex]r=\frac{1}{2}a=\frac{1}{2}\cdot2\sqrt{3}=\sqrt{3}[/tex]
Wniosek: Promień podstawy stożka jest równy √3 (odpowiedź C).
Zad. 2.
Korzystając ze wzoru na objętość kuli, obliczamy jej promień:
[tex]V=\frac{4}{3}\pi r^3\\\\12\pi=\frac{4}{3}\pi r^3\\\\12=\frac{4}{3}r^3\\\\r^3=12\cdot\frac{3}{4}\\\\r^3=9\\\\r=\sqrt[3]{9}[/tex]
Obliczamy pole powierzchni kuli, korzystając ze wzoru i podstawiając wartość obliczonego promienia:
[tex]P=4\pi r^2\\\\P=4\pi \cdot (\sqrt[3]{9})^2\\\\P=4\pi \cdot \sqrt[3]{81}\\\\P=4\pi \cdot 3\sqrt[3]{3}\\\\P=12\sqrt[3]{3}\pi[/tex]
Wniosek: Pole powierzchni kuli wynosi 12∛3π (odpowiedź C).
Zad. 3.
Korzystając ze wzoru obliczamy objętość stożka:
[tex]V=\frac{\pi r^2h}{3}\\\\V=\frac{\pi \cdot 4^2 \cdot \not3}{\not3}\\\\V=16\pi[/tex]
Następnie liczymy objętość walca:
[tex]V=\pi r^2 h\\\\V=\pi 4^2 \cdot 17\\\\V=272\pi[/tex]
Objętość kuli otrzymanej z przetopionych brył to suma objętości stożka i walca:
[tex]V=16\pi+272\pi=288\pi[/tex]
Znając objętość kuli i wzór na tę objętość, obliczamy promień kuli:
[tex]V=\frac{4}{3}\pi r^3\\\\288\pi=\frac{4}{3}\pi r^3\\\\r^3=288\cdot \frac{3}{4}\\\\r^3=216\\\\r=6[/tex]
Wniosek: Promień tej kuli równa się 6.
#SPJ1