Question

Proszę o wytłumaczenie, krok po kroku, jak rozwiązywać tę nierówność (przykład d)

Answer 1

Rozwiązanie:

[tex]$\Big(\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}\Big)^{2} > \frac{2}{3}x-\frac{8}{3}[/tex]

Na początek wyłączymy sobie [tex]$\frac{1}{3}[/tex] po lewej stronie, aby nie pracować na ułamkach (uwaga na kwadrat) :

[tex]$\frac{1}{9}(x+1)^{2} > \frac{2}{3}x-\frac{8}{3}[/tex]

Teraz mnożymy obustronnie przez [tex]9[/tex], aby ostatecznie pozbyć się ułamków :

[tex](x+1)^{2} > 6x-24[/tex]

Upraszczamy nierówność (wymnożenie, przeniesienie, redukcja) :

[tex]x^{2}+2x+1 > 6x-24[/tex]

[tex]x^{2}-4x+25 > 0[/tex]

Obliczamy deltę (wyróżnik trójmianu) :

[tex]\Delta=16 - 4 \cdot 1 \cdot 25=16-100 = -84 < 0[/tex]

Delta jest ujemna, ale to nie znaczy, że nierówność nie ma rozwiązań. Należy narysować schematyczny wykres paraboli, aby odczytać rozwiązanie (albo pomyśleć, ale wykres zwykle jest pomocny).
Kluczowy jest bieg ramion paraboli (w górę lub w dół), który zależy od współczynnika [tex]a[/tex] funkcji kwadratowej (stoi on przy [tex]x^2[/tex]). W tym wypadku [tex]a=1[/tex], tak więc ramiona idą w górę. Teraz pomyślmy - ramiona idą w górę i nie ma miejsc zerowych (delta ujemna), więc cały wykres jest nad osią [tex]OX[/tex].
Stąd wynika, że funkcja przyjmuje tylko i wyłącznie wartości dodatnie. W nierówności mamy znak [tex]>[/tex], czyli pytają nas o to, kiedy to jest większe od zera (dodatnie). Skoro cały wykres jest nad osią, to nierówność musi być prawdziwa dla każdego [tex]x[/tex].

Odpowiedź: [tex]x \in \mathbb{R}[/tex] .