Proszę o rzetelną odpowiedź, bez wykorzystania robotów takich jak ChatGPT i innych. :)
Funkcje kwadratowe f oraz g określone są wzorami ƒ(x)=(x−2)² +4 i g(x)=−x² −2.
Prosta s jest styczna do wykresów obu tych funkcji.
Wyznacz równanie prostej s.
Funkcje kwadratowe f oraz g określone są wzorami ƒ(x)=(x−2)² +4 i g(x)=−x² −2.
Prosta s jest styczna do wykresów obu tych funkcji.
Wyznacz równanie prostej s.
Równanie stycznej do wykresu funkcji [tex]f(x)[/tex] w punkcie [tex]x_0[/tex]:
[tex]y=2(x_0-2)(x-x_0)+(x_0-2)^2+4\\y=2(xx_0-x_0^2-2x+2x_0)+x_0^2-4x_0+4+4\\y=2xx_0-2x_0^2-4x+4x_0+x_0^2-4x_0+8\\y=(2x_0-4)x-x_0^2+8[/tex]
Równanie stycznej do wykresu funkcji [tex]g(x)[/tex] w punkcie [tex]x_1[/tex]:
[tex]y=-2x_1(x-x_1)-x_1^2-2\\y=-2xx_1+2x_1^2-x_1^2-2\\y=-2xx_1+x_1^2-2\\[/tex]
Porównujemy współczynniki prostych i rozwiązujemy otrzymany układ równań:
[tex]2x_0-4=-2x_1\\-x_0^2+8=x_1^2-2\\\\x_0=-x_1+2\\-x_0^2=x_1^2-10\\\\-(-x_1+2)^2=x_1^2-10\\-(x_1^2-4x_1+4)=x_1^2-10\\-x_1^2+4x_1-4=x_1^2-10\\2x_1^2-4x_1-6=0\\x_1^2-2x_1-3=0\\x_1^2+x_1-3x_1-3=0\\x_1(x_1+1)-3(x_1+1)=0\\(x_1-3)(x_1+1)=0\\x_1=3 \vee x_1=-1[/tex]
Tutaj możemy zakończyć rozwiązywanie układu — wystarczą nam wartości jednej niewiadomej. W tym przypadku jest to [tex]x_1[/tex], zatem wstawiamy otrzymane wartości do równania stycznej do wykresu funkcji [tex]g(x)[/tex].
[tex]y=-2x\cdot 3+3^2-2=-6x+9-2=-6x+7[/tex]
[tex]y=-2x\cdot (-1)+(-1)^2-2=2x+1-2=2x-1[/tex]
Zatem istnieją dwie proste styczne do wykresów funkcji [tex]f(x)[/tex] i [tex]g(x)[/tex], których równania to [tex]y=-6x+7[/tex] i [tex]y=2x-1[/tex].