Question

Proszę o rozwiązanie zadania ze szczegółowym wyjaśnieniem i może dodatkowo jakimiś wskazówkami jak zabierać się za takie typy zadań z objętością i zmianą kolejności całkowania, daje naj

Answer 1

Rozwiązanie:

[tex]\bold{Zad\ 8.}[/tex]

[tex]\bold{A)}[/tex]

Całka:

[tex]$\int\limits^{e}_{1}\int\limits^{1}_{\ln x} f(x,y) \ \text{d}y\text{d}x[/tex]

W takich przypadkach często kluczowy jest rysunek (patrz załącznik).

Chcemy zamienić kolejność całkowania, w tym przypadku całka po zmiennej [tex]y[/tex] będzie całką zewnętrzną, a zatem uzyskamy stałe granice dla [tex]y[/tex]. Z rysunku łatwo odczytać, że dla rozważanego obszaru zachodzi:

[tex]0 \leq y \leq 1[/tex]

Musimy jeszcze ustalić granice zmienności [tex]x[/tex], ale w zależności od zmiennej [tex]y[/tex]. Do tego musimy opisać występujące na rysunku krzywe funkcjami postaci [tex]x=f(y)[/tex], a nie tak jak obecnie [tex]y=f(x)[/tex]. Otrzymuje się:

[tex]1 \leq x \leq e^y[/tex]

Tak więc:

[tex]$\int\limits^{e}_{1}\int\limits^{1}_{\ln x} f(x,y) \ \text{d}y\text{d}x=\int\limits^{1}_{0}\int\limits^{e^y}_{1} f(x,y) \ \text{d}x\text{d}y[/tex]

[tex]\bold{B)}[/tex]

Funkcja:

[tex]z=f(x,y)=4-x^2-y^2[/tex]

Obszar (bryła):

[tex]L=\{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3:0 \leq z \leq 4-x^2-y^2 \wedge x\geq 0 \wedge y \leq 0\}[/tex]

Rozważamy zatem ćwiartkę paraboloidy znajdującą się w czwartym oktancie.
Rzutem tej ćwiartki na płaszczyznę [tex]OXY[/tex] jest ćwierć koła o środku w początku układu współrzędnych [tex](0,0)[/tex] i promieniu [tex]r=2[/tex] w czwartej ćwiartce (co można łatwo obliczyć po podstawieniu [tex]z=0[/tex]).

[tex]D=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2:x^2+y^2 \leq 4 \wedge x \geq 0 \wedge y \leq 0\}[/tex]

Do obliczenia objętości wykorzystamy całkę podwójną, a konkretniej wzór:

[tex]$|V|=\iint_D f(x,y) \ \text{d}x\text{d}y=\iint_D 4-x^2-y^2 \ \text{d}x\text{d}y=\iint_D 4-(x^2+y^2) \ \text{d}x\text{d}y[/tex]

Z uwagi na obszar kołowy warto wprowadzić współrzędne biegunowe:

[tex]$\left\{\begin{array}{ccc}x=r\cos \varphi\\y=r\sin \varphi\\J(r,\varphi)=r\end{array}\right[/tex]

gdzie:

[tex]$\left \{ {{0 \leq r \leq 2} \atop {\frac32 \pi \leq\varphi \leq 2\pi}} \right.[/tex]

Zatem:

[tex]$|V|=\int\limits^{2\pi}_{\frac32 \pi}\int\limits^{2}_{0}(4-r^2)r \ \text{d}r\text{d}\varphi=\int\limits^{2\pi}_{\frac32 \pi} \Bigg(\int\limits^2_0 4r-r^3 \ \text{d}r\Bigg) \ \text{d}\varphi=[/tex]

[tex]$=\int\limits^{2\pi}_{\frac32 \pi} 2r^2-\frac{r^4}{4}\Bigg|^{2}_{0} \ \text{d}\varphi=4\int\limits^{2\pi}_{\frac32 \pi} \ \text{d}\varphi=4 \cdot \varphi\Bigg|^{2\pi}_{\frac32 \pi}=4 \cdot \Big(2\pi - \frac32 \pi \Big)=2\pi[/tex]

Rysunek bryły - opisany wyżej.