Question

Proszę o rozwiązanie poniższych zadań. Daje dużo punktow i naj.
Zadania:
1.Wyznacz wartość parametru m, dla którego odległość punktu A=(2m-3, -4m+2) od
prostej y=-3x+5 wynosi 4.
2. Wyznacz punkty przecięcia wykresu funkcji √2x - x + 3√2y - 3y +1=0 z osiami
układu wspólrzędnych.
3.Wyznacz wartość parametru k, dla którego proste l:7x-2y+1=0 i m:|3k -6|x-3y=0 są równoległe.​

Answer 1

[tex]\huge\boxed{\begin{array}{l|l}\text{Zadanie 1.}&m=2\sqrt{10}+6\\\cline{1-2}\text{Zadanie 2.}&\begin{matrix}\text{Z osia OX:}&(\sqrt2-1; 0)\\\text{Z osia OY:}&\left(0;-\dfrac{\sqrt2+1}3\right)\end{matrix}\\\cline{1-2}\text{Zadanie 3}&k=3 \wedge k=\dfrac56\end{array}}[/tex]

Odległość punktu od prostej

Zadanie 1:

Zadanie polega na wyznaczenie takich wartości parametru m, dla którego odległość punktu A=(2m-3, -4m+2) od prostej y=-3x+5 wynosi 4.

Aby obliczyć to zadanie, przypomnijmy wzór na odległość punktu A=(x₀, y₀) od prostej l: Ax+By+C=0

[tex]\huge\boxed{d_{A, l}=\dfrac{Ax_0+By_0+C}{\sqrt{A^2+B^2}}}[/tex]

Przekształcamy wzór prostej y=-3x+5 do postaci ogólnej i wypisujemy jej współczynniki liczbowe:

[tex]y=-3x+5 |+3x-5\\\\\underline{3x+y-5=0}\\\\A=3,\:B=1,\:C=-5[/tex]

Wypisujemy współrzędne punktu A:

[tex]x_0=2m-3\\y_0=-4m+2[/tex]

Wiemy, że odległość ma być równa 4:

[tex]d=4[/tex]

Powyższe liczby podstawiamy do wzoru:

[tex]\dfrac{3(2m-3)+(-4m+2)-5}{\sqrt{3^2+1^2}}=4[/tex]

Upraszczamy równanie i obliczamy:

[tex]\dfrac{6m-9-4m+2-5}{\sqrt{9+1}}=4\\\\\dfrac{2m-12}{\sqrt{10}}=4 |\cdot \sqrt{10}\\\\2m-12=4\sqrt{10} |+12\\\\2m=4\sqrt{10}+12 |:2\\\\m=\dfrac{4\sqrt{10}+12}2\\\\m=\dfrac{2\!\!\!\!\diagup(2\sqrt{10}+6)}{2\!\!\!\!\diagup}\\\\\boxed{m=2\sqrt{10}+6}[/tex]

Przecięcie funkcji z osiami układu współrzędnych

Zadanie 2:

Zadanie polega na wyznaczeniu punktów przecięcia wykresu funkcji √2x - x + 3√2y - 3y +1=0 z osiami układu współrzędnych.

Wiemy, że funkcja przecina oś OX w punkcie, dla którego funkcja przyjmuje wartość 0, czyli (x, 0), a oś OY w punkcie o wartości, jaką przyjmuje funkcja dla argumentu 0, czyli (0, y)

Korzystając z tych informacji, wyznaczamy:

1. Punkt przecięcia funkcji z osią OX (za zmienną y podstawiamy 0):
   [tex]\sqrt2x-x+3\sqrt2\cdot 0-3\cdot 0+1=0\\\\\sqrt2x-x+1=0 |-1\\\\\sqrt2x-x=-1\\\\x(\sqrt2-1)=-1 |:\sqrt2-1\\\\x=-\dfrac1{\sqrt2-1}\cdot\dfrac{\sqrt2+1}{\sqrt2+1}\\\\x=-\dfrac{\sqrt2+1}{2-1}\\\\x=-\dfrac{\sqrt2+1}{1}\\\\x=-(\sqrt2+1)\\\\x=-\sqrt2-1[/tex]
   Wniosek: Punkt przecięcia funkcji z osią OX to punkt o współrzędnych [tex]\boxed{(-\sqrt2-1; 0)}[/tex]
2. Punkt przecięcia funkcji z osią OY (za zmienną x podstawiamy 0):
   [tex]\sqrt2\cdot 0-0+3\sqrt2y-3y+1=0\\\\3\sqrt2y-3y+1=0 |-1\\\\3\sqrt2y-3y=-1\\\\y(3\sqrt2-3)=-1 |:(3\sqrt2-3)\\\\y=-\dfrac{1}{3\sqrt2-3} |\cdot\dfrac{3\sqrt2+3}{3\sqrt2+3}\\\\y=-\dfrac{3\sqrt2+3}{(3\sqrt2)^2-3^2}\\\\y=-\dfrac{3\sqrt2+3}{18-9}\\\\y=-\dfrac{3\!\!\!\!\diagup^1(\sqrt2+1)}{9\!\!\!\!\diagup_3}\\\\y=-\dfrac{\sqrt2+1}3[/tex]
   Wniosek: Punkt przecięcia funkcji z osią OX to punkt o współrzędnych [tex]\boxed{\left(0; -\dfrac{\sqrt2+1}3\right)}[/tex]

Proste równoległe

Zadanie 3:

Zadanie polega na wyznaczeniu parametru k, dla którego proste l: 7x-2y+1=0 i m: |3k-6|x-3y=0 są równoległe.

Przypomnijmy, że dwie proste są równoległe wtedy, kiedy ich współczynniki kierunkowe są sobie równe.

Aby odczytać współczynnik kierunkowy prostej l, sprowadźmy ją do postaci kierunkowej:

[tex]7x-2y+1=0 |-7x-1\\-2y=-7x-1 |:(-2)\\y=\dfrac{-7x-1}{-2}\\\\y=-\dfrac{-7x-1}2\\\\y=-\dfrac{-(7x+1)}2\\\\y=\dfrac{7x+1}2\\\\y=\dfrac72x+\dfrac12[/tex]

Odczytujemy współczynniki kierunkowe obu prostych:

[tex]a_l=\dfrac72\\\\a_m=|3k-6|[/tex]

Zauważmy, że współczynnik kierunkowy jest wyrażeniem w wartości bezwzględnej. Wartością bezwzględną liczby x jest ta sama liczba, jeżeli x jest nieujemne lub liczba do niej przeciwna, jeżeli x jest ujemne.

[tex]\huge\boxed{|x|=\left\{\begin{array}{lll}x&\text{jezeli}&x\geq 0\\-x&\text{jezeli}&x < 0\end{array}\right.}[/tex]

Układamy równanie:

[tex]|3k-6|=\dfrac72[/tex]

Zgodnie z definicją wartości bezwzględnej, możliwe są dwa rozwiązania:

[tex]\begin{array}{lcl}3k-6=\dfrac72&\text{i}&-(3k-6)=\dfrac72 \Rightarrow -3k+6=\dfrac72\end{array}[/tex]

Obliczamy te równania:

[tex]\begin{array}{l|l}3k-6=\left.\dfrac72\right|\cdot 2&-3k+6=\left.\dfrac72\right|\cdot 2\\2(3k-6)=7&2(-3k+6)=7\\6k-12=7 |+12&-6k+12=7 |-12\\6k=18 |:6&-6k=-5 |:(-6)\\k=3&k=\dfrac56\end{array}[/tex]

Wniosek: Proste są równoległe dla k=3 i k=⁵/₆