Question

proszę o rozwiązanie podpunktów z matmy na załączniku z ciągów

Answer 1

Odpowiedź:

[tex]\huge\boxed{\begin{array}{l|l}a)&a_1=\dfrac12\\b)&a_1=-120\\c)&q=2\\d)&q=\dfrac14\\e)&n=5\end{array}}[/tex]

Ciąg geometryczny

Ciągiem geometrycznym jest taki ciąg liczbowy, w którym każdy kolejny wyraz różni się od poprzedniego o stały iloraz.

[tex]\huge\boxed{a_n=a_1\cdot q^{n-1}}[/tex]

Rozwiązanie:

a)

[tex]q=\dfrac12, \:\:\:a_{13}=\dfrac1{8192},\:\:\:a_1=?[/tex]

[tex]a_{13}=a_1\cdot q^{12}[/tex]

[tex]\dfrac1{8192}=a_1\cdot\left(\dfrac1{2}\right)^{12} \\\dfrac1{8192}=a_1\cdot\dfrac1{4096}|\cdot 4096\\\\\dfrac{4096}{8192}=a_1\\\\\boxed{a_1=\dfrac12}[/tex]

b)

[tex]q=-0,2,\:\:\:a_5=-0,192,\:\:\:a_1=?\\[/tex]

[tex]a_5=a_1\cdot q^4\\-0,192=a_1\cdot(-0,2)^4\\-0,192=a_1\cdot 0,0016 |\cdot 1000\\-1920=16a_1 |:16\\\boxed{a_1=-120}[/tex]

c)

[tex]a_1=-1,\:\:\:a_{10}=-512,\:\:\:q=?\\\\a_{10}=a_1\cdot q^9\\-512=-1\cdot q^{9} |:(-1)\\512=q^9\\q=\sqrt[9]{512}\\q=\sqrt[9]{2^9}\\\boxed{q=2}[/tex]

d)

[tex]a_1=\dfrac23, \:\:\:a_7=\dfrac1{6144},\:\:\:q=?\\\\a_7=a_1\cdot q^6\\\\\dfrac1{6144}=\dfrac23\cdot q^6 |\cdot\dfrac32\\\\\dfrac3{12288}=q^6\\\\q^6=\dfrac1{4096}\\\\q=\sqrt[6]{\dfrac1{4096}}\\\\q=\sqrt[6]{4^{-6}}\\\\q=\sqrt[4]{(4^{-1})^6}\\q=4^{-1}\\\boxed{q=\dfrac14}[/tex]

e)

[tex]a_1=25,\:\:\:q=-3,\:\:\:a_n=2025,\:\:\:n=?[/tex]

[tex]a_n=a_1\cdot q^{n-1}\\\\2025=25\cdot (-3)^{n-1} |:25\\81=(-3)^{n-1}\\(-3)^4=(-3)^{n-1}\\4=n-1 |+1\\\boxed{n=5}[/tex]