Wartość bezwzględna zawsze zwraca nieujemną wartość danej liczby. Zatem jeśli mamy moduł z liczby dodatniej, to jej wartość bezwzględna to ta sama liczba, np. [tex]|3|=3[/tex]. Jeśli liczymy moduł z liczby ujemnej, to wynikiem jest liczba do niej przeciwna, np. [tex]|-6|=6[/tex].
Jeśli pod modułem mamy jakieś działanie, nie możemy tych liczb rozpatrywać oddzielnie. Jeśli jedna z tych liczb jest niewymierna, musimy znaleźć jej przybliżenie i sprawdzamy, czy wynik tego działania jest dodatni, czy ujemny. Opuszczamy moduł i zapisujemy działanie tak, aby otrzymany wynik był dodatni. Najlepiej zobaczymy to na przykładzie: weźmy [tex]|\sqrt3-2|[/tex]. Wiemy, że [tex]\sqrt3\approx1,73[/tex], więc [tex]\sqrt3-2\approx1,73-2=-0,27 < 0[/tex] oraz [tex]2-\sqrt3\approx2-1,73=0,27 > 0[/tex], zatem moduł wynosi [tex]|\sqrt3-2|=2-\sqrt3[/tex].
Rozwiązanie:
Obliczymy wartości kolejnych wyrażeń.
a) [tex]\sqrt{12}\approx3,46;\sqrt3\approx1,73[/tex]
a) [tex]\huge\boxed{\dfrac{|\sqrt{12}-5|}{|\sqrt3-2|}+|4-\sqrt3|=8}[/tex]
b) [tex]\huge\boxed{\dfrac{|4-2\sqrt5|\cdot|\sqrt{20}-4|}{|-4\left(4\sqrt5-9\right)|}=1}[/tex]
c) [tex]\huge\boxed{\dfrac{|\left(\sqrt6-2\sqrt3\right)\cdot\left(2\sqrt3-\sqrt6\right)|}{2\sqrt2-3}=-6}[/tex]
d) [tex]\huge\boxed{\dfrac{|\left(\sqrt5-2\sqrt2\right)\left(\sqrt5+2\sqrt2\right)|}{|\sqrt5-1|\cdot|1-\sqrt5|}+\dfrac{3}{6+2\sqrt5}=\dfrac94}[/tex]
Wartość bezwzględna liczby (moduł liczby)
Wartość bezwzględna zawsze zwraca nieujemną wartość danej liczby. Zatem jeśli mamy moduł z liczby dodatniej, to jej wartość bezwzględna to ta sama liczba, np. [tex]|3|=3[/tex]. Jeśli liczymy moduł z liczby ujemnej, to wynikiem jest liczba do niej przeciwna, np. [tex]|-6|=6[/tex].
Jeśli pod modułem mamy jakieś działanie, nie możemy tych liczb rozpatrywać oddzielnie. Jeśli jedna z tych liczb jest niewymierna, musimy znaleźć jej przybliżenie i sprawdzamy, czy wynik tego działania jest dodatni, czy ujemny. Opuszczamy moduł i zapisujemy działanie tak, aby otrzymany wynik był dodatni. Najlepiej zobaczymy to na przykładzie: weźmy [tex]|\sqrt3-2|[/tex]. Wiemy, że [tex]\sqrt3\approx1,73[/tex], więc [tex]\sqrt3-2\approx1,73-2=-0,27 < 0[/tex] oraz [tex]2-\sqrt3\approx2-1,73=0,27 > 0[/tex], zatem moduł wynosi [tex]|\sqrt3-2|=2-\sqrt3[/tex].
Rozwiązanie:
Obliczymy wartości kolejnych wyrażeń.
a) [tex]\sqrt{12}\approx3,46;\sqrt3\approx1,73[/tex]
[tex]\dfrac{|\sqrt{12}-5|}{|\sqrt3-2|}+|4-\sqrt3|=\dfrac{5-\sqrt{12}}{2-\sqrt3}+4-\sqrt3=\dfrac{(5-2\sqrt3)(2+\sqrt3)}{(2-\sqrt3)(2+\sqrt3)}+4-\sqrt3=\\\\\dfrac{4+\sqrt3}{4-3}+4-\sqrt3=\dfrac{4+\sqrt3}1+4-\sqrt3=4+\sqrt3+4-\sqrt3=8[/tex]
b) [tex]\sqrt5\approx2,24;\sqrt{20}\approx4,47[/tex]
[tex]\dfrac{|4-2\sqrt5|\cdot|\sqrt{20}-4|}{|-4\left(4\sqrt5-9\right)|}=\dfrac{\left(2\sqrt5-4\right)\cdot\left(\sqrt{20}-4\right)}{|-16\sqrt5+36|}=\dfrac{\left(2\sqrt5-4\right)\cdot\left(2\sqrt5-4\right)}{36-16\sqrt5}=\\\\\dfrac{20-16\sqrt5+16}{36-16\sqrt5}=\dfrac{36-16\sqrt5}{36-16\sqrt5}=1[/tex]
c) [tex]\sqrt2\approx1,41;\sqrt3\approx1,73;\sqrt6\approx2,45[/tex]
[tex]\dfrac{|\left(\sqrt6-2\sqrt3\right)\cdot\left(2\sqrt3-\sqrt6\right)|}{2\sqrt2-3}=\dfrac{|2\sqrt{18}-6-12+2\sqrt{18}|}{2\sqrt2-3}=\dfrac{|4\sqrt{18}-18|}{2\sqrt2-3}=\\\\\dfrac{|12\sqrt2-18|}{2\sqrt2-3}=\dfrac{18-12\sqrt2}{2\sqrt2-3}=\dfrac{-6\left(2\sqrt2-3\right)}{2\sqrt2-3}=-6[/tex]
d) [tex]\sqrt2\approx1,41;\sqrt5\approx2,24[/tex]
[tex]\dfrac{|\left(\sqrt5-2\sqrt2\right)\left(\sqrt5+2\sqrt2\right)|}{|\sqrt5-1|\cdot|1-\sqrt5|}+\dfrac{3}{6+2\sqrt5}=\dfrac{|5-8|}{\left(\sqrt5-1\right)\cdot\left(\sqrt5-1\right)}+\dfrac{3}{6+2\sqrt5}=\\\\\dfrac{|-3|}{5-2\sqrt5+1}+\dfrac3{6+2\sqrt5}=\dfrac3{6-2\sqrt5}+\dfrac3{6+2\sqrt5}=\dfrac{3\left(6+2\sqrt5\right)+3\left(6-2\sqrt5\right)}{\left(6-2\sqrt5\right)\left(6+2\sqrt5\right)}=\\\\\dfrac{18+6\sqrt5+18-6\sqrt5}{36-20}=\dfrac{36}{16}=\dfrac94[/tex]