Question

Proszę o pomoc w zadaniu 4 ze zdjęcia i wytłumaczenia krok po kroku.

Korzystając z twierdzenia Greena obliczyć całkę

Answer 1

Zacznijmy od przypomnienie tw. Greena.

Mówi ono, że całkę po konturze K, z pewnej funkcji wektorowej, można obliczyć (jest ona równoważna) całce z rotacji tej funkcji po powierzchni ograniczonej tą krzywą.

Tyle prozą, zaś wzorem zapisuje się to jako:

[tex]\oint_k{(Pdx+Qdy)}=\int_D{(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})\, dx\,dy}[/tex]

tu ograniczyłem się do dwóch wymiarów, więc moja rotacja (po prawej stornie) ma tylko jedną składową. Ogólniejsza postać (trójwymiarowa) nosi już nazwę twierdzenia Stokesa.

Bez trudu można zidentyfikować funkcja P oraz Q

[tex]P=x^2+2xe^x+\cos x\\Q=x^2-7\arcsin y\\\frac{\partial Q}{\partial x}=2x\\\frac{\partial P}{\partial y}=0[/tex]

Nasza funkcja podcałkowa nieco się przez to uprości. Pozostaje jeszcze kwestia obszaru całkowania D. Krzywa K, która naszą powierzchnię wyznacza to prosta y=0 oraz górna parabola zwrócona ramionami w dół o miejscach zerowych x=-1 oraz x=1l; to będą granica całkowania

[tex]\int_{-1}^{1}{dx\,\int_0^{1-x^2}{2x\,dy}}=\int_{-1}^1{2x(1-x^2)\, dx}=0[/tex]

Nie było nawet potrzeby liczenia tej całki, gdyż funkcja podcałkowa jest nieparzysta; w przedziale (-a;a) całka będzie dawała zero

pozdrawiam