Question

Proszę o pomoc w zadaniu 4. Wszystkie podpunkty

Answer 1

Odpowiedź:

Szczegółowe wyjaśnienie:

a)

Ogólne równanie okręgu ma postać

[tex](x-a)^{2} +(y-b)^{2} =r^{2}[/tex]

gdzie środek okręgu ma współrzędne O (a;b)

z rysunku widać że okrąg ma środek w punkcie O(0; 0)  

więc wzór tego okręgo ma postać

[tex]x^{2} +y^{2} =25\\[/tex]

Równanie prostej przechodzącej przez punkt (0; 0) nie ma wyrazu wolnego i ma postać f(x)=ax,

Podstawiając do wzoru punkt  (-1; 2) mamy

2=a*(-1)

a= -2

f(x)= -2x

Aby obliczyć punkty wspólne należy rozwiązać układ równań .

[tex]\left \{ {{y=-2x} \atop {x^{2} +y^{2} =25}} \right. \\\\\left \{ {{y=-2x} \atop {x^{2} +(-2x)^{2} =25}} \right. \\\\\left \{ {{y=-2x} \atop {5x^{2} =25}} \right. \\\\\left \{ {{y=-2x} \atop {x=\sqrt{ 5}}} \right. \\\\\left \{ {{y_{1} =-2\sqrt{5} } \atop {x_{1} =\sqrt{5} }} \right.\\\\\left \{ {{y_{2} =2\sqrt{5} } \atop {x_{2} =-\sqrt{5} }} \right.[/tex]

pierwiastek z pięciu ma wartość ± więc rozwiązaniem układu równań są dwie pary liczb odpowiadające punktom przecięcia

[tex]A(\sqrt{5} ; -2\sqrt{5} )\\B(-\sqrt{5} ; 2\sqrt{5} )[/tex]

b)

[tex](x-a)^{2} +(y-b)^{2} =r^{2}\\[/tex]

r² dla tego okręgu wynosi r² =  4²+2²=20

wiec równanie ma postać :

[tex]x^{2} +(y-2)^{2} =20[/tex]

Punkty przecięcia prostej y=ax+b z osiami Ox i Oy to

[tex]Ox(0; b)\\Oy(\frac{-b}{a} )[/tex]

wyliczając mamy

b= -3

a=1/2

równanie prostej ma postać:

[tex]y=\frac{1}{2} x-3[/tex]

Aby obliczyć punkty wspólne należy rozwiązać układ równań . [tex]\left \{ {{y=\frac{1}{2}x-3 } \atop {x^{2} +(y-2)^{2}=20 }} \right. \\\\\left \{ {{y=\frac{1}{2}x-3 } \atop {x^{2} +(\frac{1}{2}x-3-2)^{2}=20 }} \right. \\\\\left \{ {{y=\frac{1}{2}x-3 } \atop {x^{2} +(\frac{1}{2}x-5)^{2}=20 }} \right. \\\\\left \{ {{y=\frac{1}{2}x-3 } \atop {\frac{5}{4} x^{2} -5x+25=20 }} \right. \\\\\left \{ {{y=\frac{1}{2}x-3 } \atop {x^{2} -4x+4=0 }} \right. \\\\\left \{ {{y=\frac{1}{2}x-3 } \atop {(x-2)^{2} =0 }} \right. \\\\\left \{ {{y=-2 } \atop {x=2 }} \right. \\[/tex]

Punkt przecięcia ma współrzędne A(2; -2)

c)

wykorzystując wzory z poprzedniego punktu prosta ma równanie

y= -x-7

Postać iloczynowa funkcji kwadratowej ma wzór

[tex]y=a(x-x_{1} )(x-x_{2} )[/tex]

gdzie x₁ i x₂ to miejsca zerowe funkcji

odczytują z wykresu mamy otrzymujemy następujący wzór

[tex]y=a(x+6)(x-2)=a(x^{2} +4x-12)[/tex]

podstawiając do wzoru punkt przecięcia z osią Oy (0, -3) otrzymujemy :

[tex]-3=a(0+6)(0-2)=a(-12)\\\\a=\frac{1}{4}[/tex]

zatem ogólny ogólny wzór funkcji ma postać:

[tex]y=\frac{1}{4} (x+6)(x-2)=\frac{1}{4} (x^{2} +4x-12)\\\\y=\frac{1}{4} x^{2} +x-3[/tex]

aby znaleźć punkt przecięcia rozwiązujemy układ równań

[tex]\left \{ {{y=-x-7} \atop {y=\frac{1}{4} x^{2} +x-3}} \right. \\\\\left \{ {{y=-x-7} \atop {-x-7=\frac{1}{4} x^{2} +x-3}} \right. \\\\\left \{ {{y=-x-7} \atop {\frac{1}{4} x^{2} +2x+4=0}} \right. \\\\\left \{ {{y=-x-7} \atop { x^{2} +8x+16=0}} \right. \\\\\left \{ {{y=-x-7} \atop { (x+4)^{2} =0}} \right. \\\\\left \{ {{y=-3} \atop { x=-4}} \right. \\[/tex]

Punkt przecięcia wykresów to A( -4; -3)

d)

wykorzystując wzory z poprzedniego punktu prosta ma równanie

[tex]y=\frac{1}{3} x-1[/tex]

Wierzchołek paraboli  W ma współrzędne W(p; q )    

Postać kanoniczna funkcji kwadratowej wygląda następująco:

[tex]y=a(x-p)^{2}+q[/tex]

podstawiając do wzoru współrzędne wierzchołka otrzymujemy

[tex]y=a(x-2)^{2}+3=a(x^{2} -4x+4)+3[/tex]

podstawiając do wzoru współrzędne punkty przecięcia osi Oy (0; -1)

otrzymujemy

[tex]-1=a(4)+3\\4a=-4\\a=-1[/tex]

podstawiając a do wzoru mamy:

[tex]y=(-1)*(x-2)^{2}+3=-x^{2} +4x-1\\\\y=-x^{2} +4x-1[/tex]

Wyznaczmy punkty przecięcia

[tex]\left \{ {{y=\frac{1}{3}x-1 } \atop {y=-x^{2} +4x-1}} \right.\\\\\left \{ {{y=\frac{1}{3}x-1 } \atop {\frac{1}{3}x-1=-x^{2} +4x-1}} \right.\\\\\left \{ {{y=\frac{1}{3}x-1 } \atop {x^{2} -\frac{11}{3}x=0}} \right.\\\\\left \{ {{y=\frac{1}{3}x-1 } \atop {x(x -\frac{11}{3})=0}} \right.\\\\\left \{ {{y_{1} =-1} \atop {x_{1} =0}} \right. \\\\\left \{ {{y_{2} =\frac{11}{9} -1=\frac{2}{9} } \atop {x_{2} =\frac{11}{3} =3\frac{2}{3} }} \right.[/tex]

Istnieją dwa punkty przecięcia

[tex]A (0;-1)[/tex]    i    [tex]B(3\frac{2}{3} ; \frac{2}{9} )[/tex]

W załączniku rozwiązania graficzne.

Liczę na naj.