Question

Proszę o pomoc w zadaniu 2 ze zdjęcia i wytłumaczenia krok po kroku
Obliczyć objętość bryły ograniczoną płaszczyzną

Answer 1

Z uwagi na symetrię problemu, dobrze jest wprowadzić układ cylindryczny

[tex]x=\rho\cos\phi\\y=\rho\sin\phi\\z=z[/tex]

W tych nowych zmiennych mamy więzy

[tex]\rho^2=4\\z=8-\rho^2\\z=2[/tex]

Oznacza to, że granice całkowania są następujące:

[tex]0\leq\rho\leq2\\0\leq\phi\leq2\pi\\2\leq z\leq 8[/tex]

Jakobian:

[tex]J=\rho\,d\phi\, d\rho[/tex]

Szukana objętość

[tex]V=2\pi\int_0^2{\rho\,d\rho}\int_2^{8-\rho^2}{dz}[/tex]

całkę po kącie od razy wykonałem, stąd pojawił się czynnik 2π

[tex]V=2\pi\int_0^2{(6-\rho^2)\rho\, d\rho}=2\pi(3\rho^2-\frac{1}{4}\rho^4)_0^2=\\=2\pi(12-4)=16\pi[/tex]

pozdrawiam