Bez utraty ogólności można założyć, że a>0. Ma to znaczenie tylko na etapie definiowania, gdzie znajduje się źródło światła. Innymi słowy jeśli światło pada z punktu o dodatniej rzędnej, wtedy zwierciadło wklęsłe oznacza a>0.
Niech dodatkowo kierunek padania będzie wyznaczony przez wersor
[tex]\hat{i}=[0;-1][/tex]
oraz niech promień padający porusza się wzdłuż prostej
[tex]x=x_1,\ x_1\neq0[/tex]
gdyż dla zero mamy trywialny przypadek.
Promień odbije się od zwierciadła w punkcie
[tex]P=(x_1;\ ax_1^2)[/tex]
W punkcie tym ruch promienia padającego rozłożyć można na kierunek styczny i normalny. Wyznaczają je wersory:
gdzie odpowiednia składowe wziąłem z pochodnej funkcji kwadratowej w punkcie x1 oraz z warunku prostopadłości. Zachowałem także normalizacją - dlatego piszę o wersorach i dlatego mam pierwiastki przed wektorami.
Zgodnie z prawem odbicia, składowa styczna pozostaje niezmienna, zaś składowa normalna zmienia znak. Zatem po odbiciu kierunek ruchu jest wyznaczny przez wektor:
Rozwiązanie będzie metodą siły brutalnej.
Bez utraty ogólności można założyć, że a>0. Ma to znaczenie tylko na etapie definiowania, gdzie znajduje się źródło światła. Innymi słowy jeśli światło pada z punktu o dodatniej rzędnej, wtedy zwierciadło wklęsłe oznacza a>0.
Niech dodatkowo kierunek padania będzie wyznaczony przez wersor
[tex]\hat{i}=[0;-1][/tex]
oraz niech promień padający porusza się wzdłuż prostej
[tex]x=x_1,\ x_1\neq0[/tex]
gdyż dla zero mamy trywialny przypadek.
Promień odbije się od zwierciadła w punkcie
[tex]P=(x_1;\ ax_1^2)[/tex]
W punkcie tym ruch promienia padającego rozłożyć można na kierunek styczny i normalny. Wyznaczają je wersory:
[tex]\hat{t}=\frac{1}{\sqrt{1+4a^2x_1^2}}[1;2ax_1]\\\hat{n}=\frac{1}{\sqrt{1+1/(2ax_1)^2}}[1;-\frac{1}{2ax_1}]=\frac{1}{\sqrt{1+4a^2x_1^2}}[2a|x_1|;-\mbox{sign}(x_1)][/tex]
gdzie odpowiednia składowe wziąłem z pochodnej funkcji kwadratowej w punkcie x1 oraz z warunku prostopadłości. Zachowałem także normalizacją - dlatego piszę o wersorach i dlatego mam pierwiastki przed wektorami.
Zgodnie z prawem odbicia, składowa styczna pozostaje niezmienna, zaś składowa normalna zmienia znak. Zatem po odbiciu kierunek ruchu jest wyznaczny przez wektor:
[tex]\hat{f}=-\frac{2ax_1}{\sqrt{1+4a^2x_1^2}}\hat{t}-\frac{\mbox{sign}(x_1)}{\sqrt{1+4a^2x_1^2}}\hat{n}\\\hat{f}=\frac{1}{1+4a^2x_1^2}[-4ax_1;\ -4a^2x_1^2+1][/tex]
Pozwala to wyznaczyć równanie prostej w postaci kierunkowej
[tex]y=\frac{4a^2x_1^2-1}{4ax_1}x+b[/tex]
zaś w warunku, że prosta ta przechodzi przez punkt P
[tex]ax_1^2=\frac{4a^2x_1^2-1}{4ax_1}x_1+b\\b=ax_1^2-ax_1^2+\frac{1}{4a}=\frac{1}{4a}\\y=\frac{4a^2x_1^2-1}{4ax_1}x+\frac{1}{4b}[/tex]
dla dowolnych dwóch promieni tj. dla dowolnych x1, x2 otrzymujemy rozwiązanie (punkt przecięcia promieni odbitych)
[tex]x=0,\ \Rightarrow y=\frac{1}{4a}[/tex]
oznacza to, że ognisko znajduje się na osi symetrii paraboli w odległości 1/(4a) od jej wierzchołka.
W wypadku zwierciadła kulistego nieco zmienię rozumowanie tzn. nie będę liczył pochodnych, tylko wykorzystam symetrię biegunową.
Niech zwierciadło będzie umieszczone tak, że jego środek krzywizny znajduje się w punkcie (0,0). Wtedy mogę wprowadzić układ współrzędnych:
[tex]x=R\cos\phi\\y=R\sin\phi[/tex]
zaś dla promienia padającego, jak jak poprzednio, pionowo w dół, odbicie następuje w punkcie:
[tex]P=(x_1;\ -\sqrt{R^2-x_1^2})\\x_1=R\cos\phi_1\\y_1=R\sin\phi_1\\\phi_1\in\langle-\pi;0\rangle[/tex]
co gwarantuje mi, odpowiedni znak współrzędnych.
wersor styczny i normalny
[tex]\hat{t}=[-\sin\phi_1;\ \cos\phi_1]\\\hat{n}=[-\cos\phi_1;-\sin\phi_1][/tex]
zatem promień padający, rozłożony na te dwa kierunki ma składowe:
[tex][0;\ -1]\cdot[-\sin\phi_1;\ \cos\phi_1]=-\cos\phi_1\\\left[0;\ -1\right]\cdot[-\cos\phi_1;\ -\sin\phi_1]=\sin\phi_1[/tex]
i po odbiciu:
[tex]\hat{f}=[\sin\phi_1\cos\phi_1;\ -\cos^2\phi_1]-[-\sin\phi_1\cos\phi_1; -\sin^2\phi_1]\\\hat{f}=[\sin{2\phi_1};\ \sin^2\phi_1-\cos^2\phi_1][/tex]
co daje równanie prostej:
[tex]y=\frac{2\sin^2\phi_1-1}{\sin{2\phi_1}}x+b\\R\sin\phi_1=(2\sin^2\phi_1-1)\frac{R}{2\sin\phi_1}+b\\b=R\sin\phi_1-R\sin\phi_1+\frac{R}{2\sin\phi_1}\\b=\frac{R}{2\sin\phi_1}[/tex]
Dla dwóch dowolnych promieni otrzymamy w ogólności rozwiązanie zależne od ich początkowych wersorów, co oznacza, że nie istnieje jedno ognisko.
Jedyni dla promieni przyosiowych tj. dla
[tex]\phi_i\approx-\pi/2\\b=-\frac{R}{2}[/tex]
czyli ognisko znajduje się w punkcie
[tex]F=(0;\-\frac{R}{2})[/tex]
pozdrawiam