Proszę o pomoc w tych zadaniach z pominięciem pierwszego przykładu, z góry dziękuję za każdą pomoc
" Life is not a problem to be solved but a reality to be experienced! "
© Copyright 2013 - 2024 KUDO.TIPS - All rights reserved.
Rozwiązywanie nierówności wielomianowych
przebiega w trzech etapach:
- jeżeli współczynnik (a) przy niewiadomej w najwyższej potędze jest dodatni, "wężyk" zaczynamy od góry,
- jeżeli współczynnik (a) przy niewiadomej w najwyższej potędze jest ujemny, "wężyk" zaczynamy od dołu
- jeśli krotność pierwiastka jest nieparzysta to "wężyk" przecina oś,
- jeśli krotność pierwiastka jest parzysta to "wężyk" odbija się od osi.
- jeśli wielomian jest > 0, to rozwiązaniem jest suma przedziałów w których wykres przebiega nad osią
- jeśli wielomian jest < 0, to rozwiązaniem jest suma przedziałów w których wykres przebiega pod osią
- nieostra nierówność [tex](\leqslant\,;\, \geqslant)[/tex] oznacza domknięte przedziały (miejsca zerowe wielomianu należą do rozwiązania)
We wszystkich przykładach mamy po lewej gotowy wielomian w postaci iloczynowej, więc, aby wyznaczyć jego pierwiastki wystarczy każdy jego czynnik przyrównać do zera.
2.
[tex]x(x+1)(x-3) < 0\\\\x_1=0\qquad x_2+1=0\qquad x_3-3=0 \\x_1=0\qquad\ x_2=-1\qquad\quad x_3=3[/tex]
a = 1 > 0
wykres w załączniku
Rozwiązaniem są iksy, dla których wykres biegnie poniżej osi.
Otwarte przedziały, bo nierówność ostra.
[tex]\large\text{$\bold{x\in\big(\!-\infty;\,-1\big)\cup\big(0;\,3\big)}$}[/tex]
3.
[tex]-x^2(x-1) < 0\\\\x_1^2=0\qquad x_2-1=0\\x_1=0\qquad\ x_2=1[/tex]
a = -1 < 0
x₁ = 0 - pierwiastek dwukrotny, czyli parzystego stopnia
wykres w załączniku
Rozwiązaniem są iksy, dla których wykres biegnie poniżej osi.
Otwarte przedziały, bo nierówność ostra.
[tex]\large\text{$\bold{x\in\big(1;\,\infty\big)}$}[/tex]
4.
[tex]-(x-2)(x-1)(x+1)(x+4) < 0\\\\x_1-2=0\qquad x_2-1=0\qquad x_3+1=0\qquad x_4+4=0 \\{}\ \ x_1=2\qquad\quad\ x_2=1\qquad\qquad x_3=-1\qquad\quad x_4=-4[/tex]
a = -1 < 0
wykres w załączniku
Rozwiązaniem są iksy, dla których wykres biegnie poniżej osi.
Otwarte przedziały, bo nierówność ostra.
[tex]\large\text{$\bold{x\in\big(\!-\infty;\,-4\big)\cup\big(\!-1;\,1\big)\cup\big(2;\,\infty\big)}$}[/tex]
5.
[tex]-(x-4)(x-2)(x-1) \geqslant 0\\\\x_1-4=0\qquad x_2-2=0\qquad x_3-1=0 \\{}\ \ x_1=4\qquad\quad\ x_2=2\qquad\qquad x_3=1[/tex]
a = -1 < 0
wykres w załączniku
Rozwiązaniem są iksy, dla których wykres biegnie powyżej osi oraz miejsca zerowe.
Domknięte przedziały, bo nierówność jest nieostra.
[tex]\large\text{$\bold{x\in\big(\!-\infty;\,1\big > \cup\big < 2;\,4\big > }$}[/tex]
6.
[tex]-(x-7)(x+1)(x+5) \leqslant 0\\\\x_1-7=0\qquad x_2+1=0\qquad x_3+5=0 \\{}\ \ x_1=7\qquad\quad\ x_2=-1\qquad\quad x_3=-5[/tex]
a = -1 < 0
wykres w załączniku
Rozwiązaniem są iksy, dla których wykres biegnie poniżej osi oraz miejsca zerowe.
Domknięte przedziały, bo nierówność nieostra.
[tex]\large\text{$\bold{x\in\big < \!-5;\,-1\big > \cup\big < 7;\,\infty\big)}$}[/tex]
7.
[tex]x(x+1)^2(x-2)^3 \geqslant0\\\\x_1=0\qquad (x_2+1)^2=0\qquad (x_3-2)^3=0 \\{} x_1=0\qquad\quad\ x_2=-1\qquad\qquad x_3=2[/tex]
a = 1 > 0
x₂ = -1 - pierwiastek dwukrotny (parzystego stopnia)
x₃ = 2 - pierwiastek trzykrotny (nieparzystego stopnia)
wykres w załączniku
Rozwiązaniem są iksy, dla których wykres biegnie powyżej osi oraz miejsca zerowe.
Domknięte przedziały, bo nierówność nieostra.
[tex]\large\text{$\bold{x\in\big(\!-\infty;\,0\big > \cup\big < 2;\,\infty\big > }$}[/tex]
8.
[tex]-2x(x+1)(x+5)^4(x-3) \leqslant 0\\\\2x_1=0\qquad x_2+1=0\qquad (x_3+5)^4=0\qquad x_4-3=0 \\{}\ x_1=0\qquad\quad x_2=-1\qquad\quad\ x_3=-5\qquad\quad\ \ x_4=3[/tex]
a = -1 < 0
x₃ = -5 - pierwiastek czterokrotny (parzystego stopnia)
wykres w załączniku
Rozwiązaniem są iksy, dla których wykres biegnie poniżej osi oraz miejsca zerowe.
Domknięte przedziały, bo nierówność nieostra.
[tex]\large\text{$\bold{x\in\big\{\!-5\big\}\cup\big < \!-1;\,0\big > \cup\big < 3;\,\infty\big)}$}[/tex]