Wektor to "strzałka" wyznaczona przez dwa punkty. Cechy charakterystyczne dla wektora to:
długość,
kierunek,
zwrot.
Jeśli wektor [tex]\vec{AB}[/tex] określony jest przez dwa punkty [tex]A(x_A,y_A), B(x_B,y_B)[/tex], gdzie punkt A jest początkiem wektora, a B - końcem wektora, to jego współrzędne możemy wyznaczyć ze wzoru:
[tex]\vec{AB}=\left[x_B-x_A,y_B-y_A\right][/tex]
Jeśli punkt B potraktujemy jako początek wektora, a punkt A jako jego koniec, to otrzymamy współrzędne wektora o takiej samej długości, tym samym kierunku, lecz o przeciwnym zwrocie.
Długość wektora
Jeśli mamy określony wektor [tex]\vec{u}=\left[x_u,y_u\right][/tex], to jego długość możemy wyznaczyć ze wzoru:
[tex]|\vec{u}|=\sqrt{x_u^2+y_u^2}[/tex]
Przesunięcie punktu o wektor
Jeśli mamy określony punkt [tex]A(x_A,y_A)[/tex] oraz wektor [tex]\vec{u}=\left[x_u,y_u\right][/tex], to współrzędne punktu A' uzyskanego w przesunięciu o wektor [tex]\vec{u}[/tex] są następujące:
[tex]A'(x_A',y_A')=A'(x_A+x_u,y_A+y_u)[/tex]
Rozwiązanie:
1.3. Dla kolejnych par punktów obliczymy współrzędne wektora [tex]\vec{AB}[/tex] wyznaczonego przez te punkty:
a) [tex]A(-2,3),B(4,0)\\\\\vec{AB}=\left[4-(-2),0-3\right]=\left[6,-3\right][/tex]
b) [tex]A(0,-\sqrt3),B(2,2\sqrt3)\\\\\vec{AB}=\left[2-0,2\sqrt3-(-\sqrt3)\right]=\left[2,3\sqrt3\right][/tex]
c) [tex]A(\frac12,\frac13).B(1,3)\\\\\vec{AB}=\left[1-\frac12,3-\frac13\right]=\left[\frac22-\frac12,\frac93-\frac13\right]=\left[\frac12,\frac83\right][/tex]
1.5. Dla kolejnych wektorów znajdziemy ich długość:
a) [tex]\vec{u}=\left[-5,12\right]\\\\|\vec{u}|=\sqrt{(-5)^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13[/tex]
b) [tex]\vec{v}=\left[4\frac12,6\right]\\\\|\vec{v}|=\sqrt{\left(4\frac12\right)^2+6^2}=\sqrt{\left(\frac92\right)^2+36}=\sqrt{\frac{81}4+\frac{144}4}=\sqrt{\frac{225}4}=\frac{15}2[/tex]
c) [tex]\vec{p}=\left[-11,-60\right]\\\\|\vec{p}|=\sqrt{(-11)^2+(-60)^2}=\sqrt{121+3600}=\sqrt{3721}=61[/tex]
1.3. Współrzędne kolejnych wektorów [tex]\vec{AB}[/tex] są równe:
a) [tex]\huge\boxed{\vec{AB}=\left[6,-3\right]}[/tex]
b) [tex]\huge\boxed{\vec{AB}=\left[2,3\sqrt3\right]}[/tex]
c) [tex]\huge\boxed{\vec{AB}=\left[\frac12,\frac83\right]}[/tex]
d) [tex]\huge\boxed{\vec{AB}=\left[9\frac12,-14\right]}[/tex]
1.5. Długości kolejnych wektorów są równe:
a) [tex]\huge\boxed{|\vec{u}|=13}[/tex]
b) [tex]\huge\boxed{|\vec{v}|=\frac{15}2}[/tex]
c) [tex]\huge\boxed{|\vec{p}|=61}[/tex]
d) [tex]\huge\boxed{|\vec{s}|=3}[/tex]
1.7. Współrzędne punktu B to:
a) [tex]\huge\boxed{B(-3,9)}[/tex]
b) [tex]\huge\boxed{B(-1,13)}[/tex]
c) [tex]\huge\boxed{B(4,-9)}[/tex]
d) [tex]\huge\boxed{B(4\sqrt2,0)}[/tex]
Współrzędne wektora
Wektor to "strzałka" wyznaczona przez dwa punkty. Cechy charakterystyczne dla wektora to:
Jeśli wektor [tex]\vec{AB}[/tex] określony jest przez dwa punkty [tex]A(x_A,y_A), B(x_B,y_B)[/tex], gdzie punkt A jest początkiem wektora, a B - końcem wektora, to jego współrzędne możemy wyznaczyć ze wzoru:
[tex]\vec{AB}=\left[x_B-x_A,y_B-y_A\right][/tex]
Jeśli punkt B potraktujemy jako początek wektora, a punkt A jako jego koniec, to otrzymamy współrzędne wektora o takiej samej długości, tym samym kierunku, lecz o przeciwnym zwrocie.
Długość wektora
Jeśli mamy określony wektor [tex]\vec{u}=\left[x_u,y_u\right][/tex], to jego długość możemy wyznaczyć ze wzoru:
[tex]|\vec{u}|=\sqrt{x_u^2+y_u^2}[/tex]
Przesunięcie punktu o wektor
Jeśli mamy określony punkt [tex]A(x_A,y_A)[/tex] oraz wektor [tex]\vec{u}=\left[x_u,y_u\right][/tex], to współrzędne punktu A' uzyskanego w przesunięciu o wektor [tex]\vec{u}[/tex] są następujące:
[tex]A'(x_A',y_A')=A'(x_A+x_u,y_A+y_u)[/tex]
Rozwiązanie:
1.3. Dla kolejnych par punktów obliczymy współrzędne wektora [tex]\vec{AB}[/tex] wyznaczonego przez te punkty:
a) [tex]A(-2,3),B(4,0)\\\\\vec{AB}=\left[4-(-2),0-3\right]=\left[6,-3\right][/tex]
b) [tex]A(0,-\sqrt3),B(2,2\sqrt3)\\\\\vec{AB}=\left[2-0,2\sqrt3-(-\sqrt3)\right]=\left[2,3\sqrt3\right][/tex]
c) [tex]A(\frac12,\frac13).B(1,3)\\\\\vec{AB}=\left[1-\frac12,3-\frac13\right]=\left[\frac22-\frac12,\frac93-\frac13\right]=\left[\frac12,\frac83\right][/tex]
d) [tex]A(-4,8),B(5\frac12,-6)\\\\\vec{AB}=\left[5\frac12-(-4),-6-8\right]=\left[9\frac12,-14\right][/tex]
1.5. Dla kolejnych wektorów znajdziemy ich długość:
a) [tex]\vec{u}=\left[-5,12\right]\\\\|\vec{u}|=\sqrt{(-5)^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13[/tex]
b) [tex]\vec{v}=\left[4\frac12,6\right]\\\\|\vec{v}|=\sqrt{\left(4\frac12\right)^2+6^2}=\sqrt{\left(\frac92\right)^2+36}=\sqrt{\frac{81}4+\frac{144}4}=\sqrt{\frac{225}4}=\frac{15}2[/tex]
c) [tex]\vec{p}=\left[-11,-60\right]\\\\|\vec{p}|=\sqrt{(-11)^2+(-60)^2}=\sqrt{121+3600}=\sqrt{3721}=61[/tex]
d) [tex]\vec{s}=\left[2,-\sqrt5\right]\\\\|\vec{s}|=\sqrt{2^2+(-\sqrt5)^2}=\sqrt{4+5}=\sqrt9=3[/tex]
1.7. Dla każdej pary: punktu A i wektora [tex]\vec{AB}[/tex], znajdziemy współrzędne punktu B:
a) [tex]A(0,4), \vec{AB}=\left[-3,5\right]\\\\B(0+(-3),4+5)=B(-3,9)[/tex]
b) [tex]A(-2,5),\vec{AB}=\left[1,8\right]\\\\B(-2+1,5+8)=B(-1,13)[/tex]
c) [tex]A(4,-3),\vec{AB}=\left[0,-6\right]\\\\B(4+0,-3+(-6))=B(4,-9)[/tex]
d) [tex]A(\sqrt2,2\sqrt2),\vec{AB}=\left[3\sqrt2,-\sqrt2\right]\\\\B(\sqrt2+3\sqrt2,2\sqrt2+(-2\sqrt2))=B(4\sqrt2,0)[/tex]