Question

Proszę o pomoc w rozwiązaniu i o wyjaśnienie dziękuję! ​

Answer 1

[tex]\huge\boxed{Odp.\:\:C}[/tex]

Działania na potęgach

Zadanie polega na obliczeniu wartości wyrażenia:

[tex]\left(\dfrac{2^{-2}\cdot 3^{-1}}{3^{-2}\cdot 2^{-1}}\right)^{-1}[/tex]

Aby uporządkować ułamek w nawiasie, skorzystamy z informacji, że:

[tex]\boxed{a^x:a^y=a^{x-y}}[/tex]

Zatem:

[tex]\left(\dfrac{2^{-2}\cdot 3^{-1}}{3^{-2}\cdot 2^{-1}}\right)^{-1}=\left(2^{-2-(-1)}\cdot 3^{-1-(-2)}\right)^{-1}=(2^{-2+1}\cdot 3^{-1+2})^{-1}=\left(2^{-1}\cdot 3^1\right)^{-1}=\\\\=(2^{-1}\cdot 3)^{-1}[/tex]

Skorzystamy teraz ze wzoru na liczbę wielokrotnie podniesioną do potęgi:

[tex]\boxed{(a^x)^y=a^{x\cdot y}}[/tex]

Zatem:

[tex](2^{-1}\cdot 3)^{-1}=(2^{-1})^{-1}\cdot 3^{-1}=2^{-1\cdot (-1)}\cdot 3^{-1}=2^1\cdot 3^{-1}=2\cdot 3^{-1}[/tex]

Wiemy, że liczbą podniesiona do potęgi o wykładniku -1 jest równa odwrotności tej liczby.

[tex]\boxed{a^{-n}=\dfrac1{a^n}\Rightarrow a^{-1}=\dfrac{1}a}[/tex]

Zatem :

[tex]2\cdot 3^{-1}=2\cdot \dfrac13=\boxed{\bold{\dfrac23}}[/tex]