Question

PROSZĘ O POMOC TYCH ZADAŃ ZAZNACZONYCH I JEST PODANY PRZYKŁAD JSK TO ZROBIĆ i proszę w ten sam sposób !!!!​

prosiłabym bym na kartce!!!!!! na teraz​​

Answer 1

Monotoniczność ciągu.

bₙ - ciąg rosnący

cₙ - ciąg rosnący

fₙ - ciąg nie jest monotoniczny

gₙ - ciąg ogólnie nie jest monotoniczny. Ciąg jest malejący od drugiego wyrazu.

ROZWIĄZANIA:

Niech dany będzie ciąg [tex]a_n[/tex]. Wówczas, jeżeli

• [tex]a_{n+1}-a_1>0[/tex], to ciąg jest rosnący
• [tex]a_{n+1}-a_n=0[/tex], to ciąg jest stały
• [tex]a_{n+1}-a_n<0[/tex], to ciąg jest malejący
• [tex]a_{n+1}-a_[/tex] nie jest ściśle określone co do znaku, to ciąg nie jest monotoniczny.

W każdym z danych ciągów budujemy kolejny wyraz ciągu [tex]a_{n+1}[/tex] i badamy znak różnicy [tex]a_{n+1}-a_n[/tex].

[tex]b_n=1-\dfrac{4}{n+1}\\\\b_{n+1}=1-\dfrac{4}{(n+1)+1}=1-\dfrac{4}{n+2}\\---------------\\\\b_{n+1}-b_n=\left(1-\dfrac{4}{n+2}\right)-\left(1-\dfrac{4}{n+1}\right)=1-\dfrac{4}{n+2}-1+\dfrac{4}{n+1}\\\\=\dfrac{4}{n+1}-\dfrac{4}{n+2}=\dfrac{4(n+2)}{(n+1)(n+2)}-\dfrac{4(n+1)}{(n+2)(n+1)}\\\\=\dfrac{4n+8-4n-4}{(n+2)(n+1)}=\dfrac{4}{(n+2)(n+1)}\to\dfrac{4}{(+)} > 0[/tex]

Ciąg jest rosnący.

[tex]c_n=\dfrac{10n+4}{2n+1}\\\\c_{n+1}=\dfrac{10(n+1)+4}{2(n+1)+1}=\dfrac{10n+10+4}{2n+2+1}=\dfrac{10n+14}{2n+3}\\---------------\\\\c_{n+1}-c_n=\dfrac{10n+14}{2n+3}-\dfrac{10n+4}{2n+1}=\dfrac{(10n+14)(2n+1)}{(2n+3)(2n+1)}-\dfrac{(10n+4)(2n+3)}{(2n+3)(2n+1)}\\\\=\dfrac{20n^2+10n+28n+14}{(2n+3)(2n+1)}-\dfrac{20n^2+30n+8n+12}{(2n+3)(2n+1)}\\\\=\dfrac{20n^2+38n+14}{(2n+3)(2n+1)}-\dfrac{20n^2+38n+12}{(2n+3)(2n+1)}=\dfrac{20n^2+38n+14-20n^2-38n-12}{(2n+3)(2n+1)}\\\\=\dfrac{2}{(2n+3)(2n+1)}\to\dfrac{2}{(+)} > 0[/tex]

Ciąg jest rosnący.

[tex]f_n=10n-n^2\\\\f_{n+1}=10(n+1)-(n+1)^2=10n+10-(n^2+2n+1)=10n+10-n^2-2n-1\\\\=-n^2+8n+9\\-----------\\\\f_{n+1}-f_n=(-n^2+8n+9)-(10n-n^2)=-n^2+8n+9-10n+n^2\\\\=9-2n\\\\\text{dla}\ n\in\{1,\ 2,\ 3,\ 4\},\ 9-2n > 0\\\\\text{dla}\ n > 4,\ 9-2n < 0[/tex]

Ciąg nie jest monotoniczny.

[tex]g_n=-2(n^2-3n+1)\\\\g_{n+1}=-2\left[(n+1)^2-3(n+1)+1\right]=-2(n^2+2n+1-3n-3+1)\\\\=-2(n^2-n-1)=-2n^2+2n+2\\-------------\\\\g_{n+1}-g_n=(-2n^2+2n+2)-(-2n^2+6n-2)=-2n^2+2n+2+2n^2-6n+2\\\\=-4n+4\\\\\text{dla}\ n=1,\ -4n+4=0\\\\\text{dla}\ n > 1,\ -4n+4 < 0[/tex]

Ogólnie ciąg nie jest monotoniczny.  Pomijając pierwszy wyraz, ciąg jest malejący.

W dwóch przykładach skorzystaliśmy ze wzoru skróconego mnożenia:

[tex](a+b)^2=a^2+2ab+b^2[/tex]