Question

Proszę o pomoc potrzebuję na dzisiaj, oprócz zadania 2

Answer 1

Obliczanie wartości funkcji trygonometrycznych

1.
[tex]sin\alpha = \frac{7}{25} \\cos\alpha = \frac{24}{25} \\tg\alpha = \frac{7}{24}[/tex]
[tex]sin\beta = \frac{16 }{20} \\cos\beta = \frac{3}{5} \\tg\beta = 1\frac{1}{3}[/tex]
[tex]sin\gamma = \frac{15}{17} \\cos\gamma = \frac{8}{17} \\tg\gamma = 1\frac{7}{8}[/tex]

3.
a) α = 30°
b) α = 60°
c) α = 30°

4.
[tex]sin\alpha = \frac{\sqrt{3} }{2} \\cos\alpha = \frac{1}{2} \\tg\alpha = \frac{\sqrt{3} }{3}[/tex]
α = 60°
[tex]sin\beta = \frac{1}{2} \\cos\beta = \frac{\sqrt{3} }{2} \\tg\beta = \sqrt{3}[/tex]
β = 30°

Rozwiązanie:

Korzystamy ze wzorów na funkcje trygonometryczne kątów w trójkącie prostokątnym:

• [tex]sin\alpha = \frac{a}{c}[/tex]
• [tex]cos\alpha =\frac{b}{c}[/tex]
• [tex]tg\alpha = \frac{a}{b}[/tex]

Gdzie: a - przyprostokątna naprzeciwko kąta α, b - przyprostokątna przy kącie α, c - przeciwprostokątna

1.
[tex]sin\alpha = \frac{7}{25} \\cos\alpha = \frac{24}{25} \\tg\alpha = \frac{7}{24}[/tex]

Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy długość przeciwprostokątnej drugiego trójkąta:

x² = 12² + 16²
x² = 144 + 256
x² = 400
x = 20
[tex]sin\beta = \frac{16 }{20} \\cos\beta = \frac{12}{20} = \frac{3}{5} \\tg\beta = \frac{16}{12} = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3}[/tex]

Ponownie korzystając z twierdzenia Pitagorasa, obliczamy długość drugiej przyprostokątnej:

y² + 15² = 17²
y² = 284 - 225
y² = 64
y = 8
[tex]sin\gamma = \frac{15}{17} \\cos\gamma = \frac{8}{17} \\tg\gamma = \frac{15}{8} = 1\frac{7}{8}[/tex]

3.

Rozwiązujemy równanie, którego niewiadomą jest funkcja trygonometryczna. Gdy otrzymamy wynik, przyrównujemy go do wartości z tabeli wartości funkcji trygonometrycznych z karty wzorów i określamy, jaką wartość ma kąt α.
a)
[tex]\sqrt{3}tg\alpha - 1 = 0\\ tg\alpha = \frac{1}{\sqrt{3} } = \frac{\sqrt{3 } }{\sqrt{3} \sqrt{3} } \\tg\alpha = \frac{\sqrt{3} }{3}\\[/tex]
α = 30°
b)
[tex]4sin\alpha -\sqrt{3} = 2(\sqrt{3}-sin\alpha )\\4sin\alpha -\sqrt{3} = 2\sqrt{3} - 2sin\alpha\\6sin\alpha = 3\sqrt{3} \\sin\alpha = \frac{3\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3} }{2}[/tex]
α = 60°
c)
[tex]10\sqrt{3}cos\alpha - 7= 8\\10\sqrt{3}cos\alpha = 15\\cas\alpha = \frac{15}{10\sqrt{3} } \\cos\alpha =\frac{3}{2\sqrt{3} } = \frac{3\sqrt{3} }{6} = \frac{\sqrt{3} }{2}[/tex]
α = 30°

4.

Obliczamy kolejne funkcje trygonometryczne korzystając ze wzorów, które wcześniej zapisaliśmy. Aby określić miarę kątów, przyrównujemy otrzymane wyniki funkcji do wartości w tabeli z karty wzorów.

[tex]sin\alpha = \frac{8\sqrt{3} }{16} = \frac{\sqrt{3} }{2} \\cos\alpha = \frac{8}{16} = \frac{1}{2} \\tg\alpha = \frac{8}{8\sqrt{3} } = \frac{1}{\sqrt{3} } = \frac{\sqrt{3} }{3}[/tex]
α = 60°
[tex]sin\beta = \frac{8}{16} = \frac{1}{2} \\cos\beta = \frac{8\sqrt{3} }{16} = \frac{\sqrt{3} }{2} \\tg\beta = \frac{8\sqrt{3} }{8} = \sqrt{3}[/tex]
β = 30°

#SPJ1