Question

Proszę o pomoc, dam naj

Answer 1

[tex]V=27\sqrt3\ cm^3[/tex]

[tex]P_c=18(\sqrt3+3)\ cm^2[/tex]

Graniastosłup prawidłowy trójkątny

to graniastosłup, w którym:

• wysokość (h) jest równa krawędzi bocznej
• podstawami są trójkąty równoboczne o boku będącym krawędzią podstawy (a)
• powierzchnię boczną stanowią trzy jednakowe ściany, będące prostokątami o bokach a i h

Skoro ściany boczne są jednakowymi prostokątami to ich przekątne mają jednakową długość:

            [tex]\large\text{$|BD|=|CD|$}[/tex]

Wzór na objętość tego graniastosłupa to:

              [tex]\large\text{$V=P_p\cdot h=\frac{a^2\sqrt3}4\cdot h$}[/tex]

Wzór na pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa:

             [tex]\large\text{$P_c=2P_p+P_b=2\cdot\frac{a^2\sqrt3}4+3\cdot ah$}[/tex]

Mamy dane a = 6 cm, czyli musimy wyznaczyć h

Żeby móc skorzystać z funkcji trygonometrycznej musimy znaleźć trójkąt prostokątny, którego kątem jest kąt α.

Najprościej będzie w tym celu poprowadzić wysokość w trójkącie BCD do boku BD  (lub do CD).

Oznaczając spodek tej wysokości jako H, otrzymamy trójkąt prostokątny CDH.

Tangens kąta α

to stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta α (tutaj: CH) do drugiej przyprostokątnej (tutaj: DH).

Czyli:    [tex]\Large\text{$\text{tg\,}\alpha=\frac{|CH|}{|DH|}=\frac43$}[/tex]

Stąd:  

•  [tex]\large\text{$|CH|=4x$}[/tex]  
•  [tex]\large\text{$|DH|=3x$}[/tex]  

gdzie x jest jakąś liczbą rzeczywistą.

{pierwszy rysunek}

Z twierdzenia Pitagorasa

wiemy, że w trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.

Czyli:

z trójkąta CDH otrzymujemy:

 [tex]\large\text{$(3x)^2+(4x)^2=|CD|^2$} \\\\ \large\text{$|CD|^2=9x^2+16x^2$} \\\\ \large\text{$|CD|^2=25x^2$} \\\\ \large\text{$|CD|=5x$}[/tex]

Stąd:

        [tex]\large\text{$|BH|=|BD|-|DH|=5x-3x=2x$}[/tex]

Zatem, z trójkąta BCH (drugi rysunek) otrzymamy:

[tex]\large\text{$(2x)^2+(4x)^2=6^2$} \\\\ \large\text{$4x^2+16x^2=36$} \\\\ \large\text{$20x^2=36\qquad/:20$} \\\\ \large\text{$x^2=\frac95$} \\\\ \large\text{$x=\frac3{\sqrt5}=\frac{3\sqrt5}5$} \\\\ \large\text{$|BD|=|CD|=5\cdot\frac{3\sqrt5}5=\bold{3\sqrt5}$}[/tex]

oraz z trójkąta ABD mamy:

[tex]\large\text{$6^2+h^2=(3\sqrt5)^2$} \\\\ \large\text{$36+h^2=45\qquad/-36$} \\\\ \large\text{$h^2=9$} \\\\ \large\text{$\bold{h=3\,cm}$}}[/tex]

Mamy wszystkie potrzebne dane, więc możemy obliczyć:

objętość graniastosłupa

[tex]\large\text{$V=\frac{6^2\sqrt3}4\cdot 3$} \\\\ \large\text{$V=\frac{36\sqrt3}4\cdot 3$} \\\\ \large\text{$V=9\sqrt3\cdot 3$} \\\\ \Large\text{$\bold{V=27\sqrt3\ cm^3}$}[/tex]

pole powierzchni całkowitej graniastosłupa

[tex]\large\text{$P_c=2\cdot\frac{6^2\sqrt3}4+3\cdot 6\cdot3$}\\\\ \large\text{$P_c=\frac{36\sqrt3}2+54$}\\\\ \large\text{$P_c=18\sqrt3+54$}\\\\ \Large\text{$\bold{P_c=18(\sqrt3+3)\ cm^2}$}[/tex]