Wyznacz wartości [tex]\cos\alpha[/tex] oraz [tex]\tan\alpha[/tex], jeżeli [tex]\sin\alpha=\dfrac{2\sqrt{n}}{n+1}[/tex], przy założeniu, że α jest kątem ostrym oraz [tex]n\in\mathbb{N}[/tex] i n > 1.
Wartość funkcji cosinus dla tego kąta wyznaczymy, korzystając z jedynki trygonometrycznej:
[tex]\huge\boxed{\cos\alpha=\dfrac{n-1}{n+1},\;\;\tan\alpha=\dfrac{2\sqrt{n}}{n-1}}[/tex]
Trygonometria
Dla kąta α zachodzą następujące związki pomiędzy funkcjami sinus, cosinus i tangens:
[tex]\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1 \quad - \quad \text{jedynka trygonometryczna}\\\\\tan\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}[/tex]
Ponadto w zadaniu skorzystamy ze wzorów:
[tex]\left(a+b\right)^2=a^2+2ab+b^2\\\\\left(a-b\right)^2=a^2-2ab+b^2[/tex]
Rozwiązanie:
Wyznacz wartości [tex]\cos\alpha[/tex] oraz [tex]\tan\alpha[/tex], jeżeli [tex]\sin\alpha=\dfrac{2\sqrt{n}}{n+1}[/tex], przy założeniu, że α jest kątem ostrym oraz [tex]n\in\mathbb{N}[/tex] i n > 1.
Wartość funkcji cosinus dla tego kąta wyznaczymy, korzystając z jedynki trygonometrycznej:
[tex]\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\\\\\left(\dfrac{2\sqrt{n}}{n+1}\right)^2+\cos^2\alpha=1\\\\\dfrac{4n}{\left(n+1\right)^2}+\cos^2\alpha=1\qquad/-\dfrac{4n}{\left(n+1\right)^2}\\\\\cos^2\alpha=1-\dfrac{4n}{\left(n+1\right)^2}\\\\\cos^2\alpha=\dfrac{\left(n+1\right)^2}{\left(n+1\right)^2}-\dfrac{4n}{\left(n+1\right)^2}\\\\\cos^2\alpha=\dfrac{n^2+2n+1-4n}{\left(n+1\right)^2}\\\\\cos^2\alpha=\dfrac{n^2-2n+1}{\left(n+1\right)^2}\\\\\cos^2\alpha=\dfrac{\left(n-1\right)^2}{\left(n+1\right)^2}[/tex]
[tex]\cos\alpha=\sqrt{\dfrac{\left(n-1\right)^2}{\left(n+1\right)^2}}\\\\\cos\alpha=\dfrac{|n-1|}{|n+1|}=\dfrac{n-1}{n+1}[/tex]
Wartość funkcji tangens wyznaczymy, korzystając z faktu, że jest ona równa ilorazowi wartości funkcji sinus i cosinus:
[tex]\tan\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\dfrac{\frac{2\sqrt{n}}{n+1}}{\frac{n-1}{n+1}}=\dfrac{2\sqrt{n}}{n+1}:\dfrac{n-1}{n+1}=\dfrac{2\sqrt{n}}{n+1}\cdot\dfrac{n+1}{n-1}=\dfrac{2\sqrt{n}}{n-1}[/tex]